2-3 дерево

Пример 2-3 дерева

2-3 дерево (англ. 2-3 tree) — структура данных, представляющая собой сбалансированное дерево поиска, такое что из каждого узла может выходить две или три ветви и глубина всех листьев одинакова. Является частным случаем B+ дерева.

Свойства

2-3 дерево — сбалансированное дерево поиска, обладающее следующими свойствами:

• нелистовые вершины имеют либо [math]2[/math], либо [math]3[/math] сына,
• нелистовая вершина, имеющая двух сыновей, хранит максимум левого поддерева. Нелистовая вершина, имеющая трех сыновей, хранит два значения. Первое значение хранит максимум левого поддерева, второе максимум центрального поддерева,
• сыновья упорядочены по значению максимума поддерева сына,
• все листья лежат на одной глубине,
• Высота 2-3 дерева [math]O(\log{n})[/math], где [math] n [/math] — количество элементов в дереве.

Операции

Введем следующие обозначения:

• [math]\mathtt{root}[/math] — корень 2-3 дерева.

Каждый узел дерева обладает полями:

• [math]\mathtt{parent}[/math] — родитель узла,
• [math]\mathtt{sons}[/math] — сыновья узла,
• [math]\mathtt{keys}[/math] — ключи узла,
• [math]\mathtt{length}[/math] — количество сыновей.

Поиск

• [math]x[/math] — искомое значение,
• [math]t[/math] — текущая вершина в дереве.

Изначально [math]t = \mathtt{root}[/math]. Будем просматривать ключи в узлах, пока узел не является листом. Рассмотрим два случая:

• у текущей вершины два сына. Если её значение меньше [math]x[/math], то [math]t = \mathtt{t.sons[1]}[/math], иначе [math]t = \mathtt{t.sons[0]}[/math].

• у текущей вершины три сына. Если второе значение меньше [math]x[/math], то [math]t = \mathtt{t.sons[2]}[/math]. Если первое значение меньше [math]x[/math], то [math]t = \mathtt{t.sons[1]}[/math], иначе [math]t = \mathtt{t.sons[0]}[/math].

T search(T x):
  Node t = root
  while (t не является листом)
    if (t.length == 2)
      if (t.keys[0] < x)
        t = t.sons[1]
      else t = t.sons[0]
    else if (t.keys[1] < x)
      t = t.sons[2]
    else if (t.keys[0] < x)
      t = t.sons[1]
    else t = t.sons[0]
  return t.keys[0]

Пример поиска в 2-3 дереве, так как элемент [math]6[/math] существует, то был возвращен корректный узел, так как элемента [math]10[/math] нет, возвращается некорректный узел. На основе этого можно сделать метод [math]\mathtt{exist}[/math], проверяющий наличии элемента в дереве.

Поиск элемента 2

Вставка элемента

• [math]x[/math] — добавляемое значение,
• [math]t[/math] — текущая вершина в дереве. Изначально [math]t = \mathtt{root}[/math].

Если корня не существует — дерево пустое, то новый элемент и будет корнем (одновременно и листом). Иначе поступим следующим образом:

Найдем сперва, где бы находился элемент, применив [math]\mathtt{search(x)}[/math]. Далее проверим есть ли у этого узла родитель, если его нет, то в дереве всего один элемент — лист. Возьмем этот лист и новый узел, и создадим для них родителя, лист и новый узел расположим в порядке возрастания.

Если родитель существует, то подвесим к нему ещё одного сына. Если сыновей стало [math]4[/math], то разделим родителя на два узла, и повторим разделение теперь для его родителя, ведь у него тоже могло быть уже [math]3[/math] сына, а мы разделили и у него стало на [math]1[/math] сына больше. (перед разделением обновим ключи).

function splitParent(Node t):
 if (t.length > 3) 
   Node a = Node(sons = {t.sons[2], t.sons[3]}, keys = {t.keys[2]}, parent = t.parent, a.length = 2)
   t.sons[2].parent = a
   t.sons[3].parent = a
   t.length = 2
   t.sons[2] = null
   t.sons[3] = null
   if (t.parent != null)
     t.parent[t.length] = a
     t.length++
     сортируем сыновей у t.parent
     splitParent(t.parent)
   else                   // мы расщепили корень, надо подвесить его к общему родителю, который будет новым корнем
    Node t = root
    root.sons[0] = t
    root.sons[1] = a
    t.parent = root
    a.parent = root
    root.length = 2
    сортируем сыновей у root

Если сыновей стало [math]3[/math], то ничего не делаем. Далее необходимо восстановить ключи на пути от новой вершины до корня:

function updateKeys(Node t): 
  Node a = t.parent
  while (a != null)
   for i = 0 .. a.length - 1
     a.keys[i] = max(a.sons[i]) // max — возвращает максимальное значение в поддереве.
   a = a.parent                 // Примечание: max легко находить, если хранить максимум 
                                // правого поддерева в каждом узле — это значение и будет max(a.sons[i])

[math]\mathtt{updateKeys}[/math] необходимо запускать от нового узла. Добавление элемента:

function insert(T x):
  Node n = Node(x)
  if (root == null) 
   root = n
   return
  Node a = search(x)
  if (a.parent == null) 
    Node t = root
    root.sons[0] = t
    root.sons[1] = n
    t.parent = root
    n.parent = root
    root.length = 2
    сортируем сыновей у root
  else 
    Node p = a.parent
    p.sons[p.length] = n
    p.length++
    n.parent = p
    сортируем сыновей у p
    updateKeys(n) 
    split(n)
  updateKeys(n) 

Так как мы спускаемся один раз, и поднимаемся вверх при расщеплении родителей не более одного раза, то [math]\mathtt{insert}[/math] работает за [math]O(\log{n})[/math].

Примеры добавления:

Добавление элемента с ключом 6

Удаление элемента

• [math]x[/math] — значение удаляемого узла,
• [math]t[/math] — текущий узел.
• [math]b[/math] — любой брат [math]t[/math].

Пусть изначально [math]t = \mathtt{search(x)}[/math] — узел, где находится [math]x[/math].

Если у [math]t[/math] не существует родителя, то это корень. Удалим его.

Если у [math]t[/math] существует родитель, и у него строго больше [math]2[/math] сыновей, то просто удалим [math]t[/math], а у [math]\mathtt{t.parent}[/math] уменьшим количество детей.

Если у родителя [math]\mathtt{t}[/math] [math]2[/math] сына, то найдем у любого соседнего листа его родителя, обозначим его за [math]p[/math]. Обозначим отца соседнего листа за [math]p[/math].Рассмотрим возможные случаи:

• [math]p[/math] не существует, тогда мы удаляем одного из сыновей корня, тогда другой сын становится новым корнем,
• у [math]\mathtt{t.parent}[/math] оказалось [math]2[/math] сына, у [math]p[/math] оказалось 2 сына. Подвесим [math]b[/math] к [math]p[/math] и удалим [math]t[/math], но у отца [math]\mathtt{t.parent}[/math] не изменим количество детей. Так у отца [math]\mathtt{t.parent}[/math] оказалось тоже два сына,повторяем для него такие же рассуждения.
• у [math]\mathtt{t.parent}[/math] оказалось [math]2[/math] сына, у [math]p[/math] оказалось 2 сына. Подвесим [math]b[/math] к [math]p[/math] и удалим [math]t[/math], а у отца уменьшим количество детей. Так как у [math]p[/math] оказалось четыре сына, то необходимо его расщепить. Теперь у отца [math]\mathtt{t.parent}[/math] оказалось два сына и все узлы 2-3 дерева корректны.
• у [math]\mathtt{t.parent}[/math] оказалось [math]3[/math] сына, у [math]p[/math] оказалось 2 сына. Подвесим [math]b[/math] к [math]p[/math] и удалим [math]t[/math], а у отца уменьшим количество детей. Так как у [math]p[/math] оказалось три сына, а у отца [math]\mathtt{t.parent}[/math] все ещё больше одного сына, то все узлы 2-3 дерева корректны.
• у [math]\mathtt{t.parent}[/math] оказалось [math]3[/math] сына, у [math]p[/math] оказалось 3 сына. Подвесим [math]b[/math] к [math]p[/math] и удалим [math]t[/math], а у отца уменьшим количество детей. Так как у [math]p[/math] оказалось четыре сына, то расщепим его, теперь у отца [math]\mathtt{t.parent}[/math] вновь три сына и все узлы 2-3 дерева корректны.

Обобщим алгоритм при удалении когда у родителя [math]\mathtt{t}[/math] два сына(ниже мы никогда не уменьшаем количество детей у [math]\mathtt{t.parent}[/math]):

• Если p не существует, то оказывается, что мы сейчас удаляем какого-то из сыновей корня (для определенности далее левого, с правым аналогично). Тогда теперь правый сын становится корнем. На этом удаление заканчивается.

• Если p существует, то удалим [math]t[/math], а его брата ([math]b[/math]) перецепим к [math]p[/math]. Теперь у [math]p[/math] могло оказаться [math]4[/math] сына, поэтому повторим аналогичные действия из [math]\mathtt{insert}[/math]: вызовем [math]\mathtt{updateKeys}(b)[/math] и [math]\mathtt{splitParent}(p)[/math]. Теперь рекурсивно удалим [math]\mathtt{t.parent}[/math].

В результате мы получаем корректное по структуре 2-3 дерево, но у нас есть нарушение в ключах в узлах, исправим их с помощью [math]\mathtt{updateKeys()}[/math], запустившись от [math]b[/math].

Удаление элемента с ключом 2

Следующий и предыдущий

• [math]x[/math] — поисковый параметр,
• [math]t[/math] — текущий узел.

В силу того, что наши узлы отсортированы по максимуму в поддереве, то следующий объект это соседний лист справа. Попасть туда можно следующим образом: будем подниматься вверх, пока у нас не появится первой возможности свернуть направо вниз. Как только мы свернули направо вниз, будем идти всегда влево. Таким образом, мы окажемся в соседнем листе. Если мы не смогли ни разу свернуть направо вниз, и пришли в корень, то следующего объекта не существует. Случай с предыдущим симметричен.

 T next(T x)
   Node t = search(x)
   if (t.keys[0] > x) //x не было в дереве, и мы нашли следующий сразу
     return t
   while (t != null)
     t = t.parent
     if (можно свернуть направо вниз)
      в t помещаем вершину, в которую свернули
      while (пока t — не лист)
       t = t.sons[0]
       return t
   return t.keys[0];
    

Путь при поиске следующего элемента после 2

Нахождение m следующих элементов

B+ деревья, поддерживают операцию [math]\mathtt{find}[/math], которая позволяет находить m следующих элементов. Наивная реализация выглядит следующим образом: будем вызывать [math]m[/math] раз поиск следующего элемента, такое решение работает за [math]O(m \log{n})[/math]. Но 2-3 деревья, позволяют находить m следующих элементов за [math]O(m + \log{n})[/math], что значительно ускоряет поиск при больших [math]m[/math]. По построению, все листья у нас отсортированы в порядке возрастания, воспользуемся этим для нахождения m элементов. Нам необходимо связать листья, для этого модифицируем [math]\mathtt{insert}[/math] и [math]\mathtt{delete}[/math]. Добавим к узлам следующие поля:

• [math]\mathtt{right}[/math] — указывает на правый лист,
• [math]\mathtt{left}[/math] — указывает на левый лист.

Пусть [math]t[/math] — добавленный узел. Изменим [math]\mathtt{insert}[/math] следующим образом: в самом конце, после того как мы уже обновили все ключи, найдем [math]\mathtt{next(t)}[/math] и запишем ссылку на него в [math]\mathtt{t.right}[/math]. Аналогично с левым.

Пусть [math]t[/math] — удаляемый узел. Изменим [math]\mathtt{delete}[/math] следующим образом: в самом начале, до удаления [math]t[/math], найдем следующий [math]\mathtt{next}[/math] и запишем в [math]\mathtt{next.left}[/math] правый лист относительно [math]t[/math]. С левым поступим аналогично.

В итоге, мы имеем двусвязный список в листьях, и чтобы нам вывести [math]m[/math] элементов, нам достаточно один раз найти нужный элемент и пробежаться вправо на [math]m[/math] элементов.

thumb

См. также

• B-дерево
• Splay-дерево
• АВЛ-дерево
• Декартово дерево
• Красно-черное дерево

Источники информации

• is.ifmo.ru — Визуализатор 2-3 дерева
• rain.ifmo.ru — Визуализатор 2-3 дерева
• Википедия — 2-3 дерево
• Д. Кнут «Искусство программирования. Сортировка и поиск» — стр. 508 - 509