Сортирующая сеть O(log N)

Ажтаи (Ajtai), Комлос (Komlos) и Шимереди (Szemeredi) сконструировали сортирующую сеть на N входов глубины [math] O(\log N) [/math], при они не углублялись в исследование значения константы, получавшейся при правильном соблюдении необходимой ассимптотики. Впоследствии Патерсон выяснил, что [math] O(\log N) [/math] можно заменить на [math] c\log_2 N [/math] с константой приблизительно равной [math] 6100 [/math]. Здесь будет описана более поздняя реализация, которая включает в себя меньшую константу [math]c[/math], а именно, будет доказано, что для любого целого числа [math]N[/math] такого,что [math]N \ge 2^{78}[/math] существует сортирующая сеть на [math]N[/math] входов, такая, что глубина в худшем случае будет [math]1830 \log_2 N - 58657 [/math].

Основными составяющими этой конструкции будут сортирующие сети на [math]M[/math] входов, такие ,что [math]M[/math] относительно мало. Мы назовем их [math]M[/math]-сортировщиками. Для любых выбранных положительных целых чисел [math]M[/math] и [math]N[/math] таких что [math] N \ge M[/math], конструкция будет включать в себя [math]N[/math] проводов, и будет сделана из [math]M[/math]-сортировщиков, глубина которых в худшем случае [math](48 + о(1))\log_MN + 115[/math] при [math]M \to \inf[/math]. (Стоит отметить, что асимптотическое [math]o(1)[/math] здесь относится к [math]M[/math], а не к [math]N[/math]).

Разделители

Сначала введем все необходимые понятия для построения сортирующей сети.

Определение:

Идеальным разделителем будем называть сеть, выходные провода которой разделены на K блоков одинакового размера, таких, что принимая на вход любые [math]a[/math] значений, сеть размещает первые [math]a/k[/math] минимальные по величине ключи в первый блок, следующие [math]a/k[/math] по величине ключи – во второй, и т.д.

Эти идеальные разделители могут быть использованы как модули для построения сортирующей сети на [math]N[/math] входов, где [math]N = k^d[/math] для некоторого положительного числа d. Такая сеть будет представлять собой композицию сетей [math]N_0, N_1, N_2 .. N_{d-1}[/math], где [math]N_t[/math] – парраллельная композиция [math]k^t[/math] идеальных разделителей одинакового размера.

Конструкция сети

[math]\alpha^*(t) = \dfrac{t\log \dfrac{1}{\nu} - \log N + \log(2A\nu k^3)}{\log A}[/math]

[math]\omega^*(t) = \dfrac{t\log \dfrac{1}{\nu} + \log(A\nu k)}{\log Ak}[/math]

[math]\alpha(t) \ge \alpha^*(t),\quad \alpha(t)\equiv t\; mod\; 2 [/math]

[math]\omega(t) \ge \omega^*(t),\quad \omega(t)\equiv t\; mod\; 2 [/math]

[math] O(\log N) [/math] [math] c\log_2 N [/math]

[math] \pi(\alpha(t),t) = \begin{cases} 0,&\text{если $\alpha(t + 1)\gt \alpha(t)$,}\\ \dfrac{\nu}{AK}c(a(t),t), &\text{если $\alpha(t + 1)\gt \alpha(t)$.} \end{cases} [/math]

[math] \pi(i,t) = \dfrac{A\nu k - 1}{A^2k^2}c(i,t),\qquad\quad \text{если $\alpha(t) \lt i \lt \omega(t)$,} [/math]

[math] \pi(\omega(t),t) = \begin{cases} \dfrac{A\nu k - 1}{A^2k^2}c(\omega(t),t),&\text{ $\omega(t + 1)\gt \omega(t)$,}\\ \alpha(\omega(t),t),&\text{если $\omega(t + 1)\lt \omega(t)$,} \end{cases} [/math]

[math] \chi(\alpha(t),t) = \begin{cases} \dfrac{1}{k}c(\alpha(t),t),&\text{ $\alpha(t + 1)\gt \alpha(t)$,}\\ \dfrac{Ak - \nu}{Ak^2}c(\alpha(t),t),&\text{если $\alpha(t + 1)\lt \alpha(t)$,} \end{cases} [/math]

[math] \chi(i,t) = \dfrac{Ak - \nu}{Ak^2}c(i,t),\qquad\quad \text{если $\alpha(t) \lt i \lt \omega(t)$,} [/math]

[math] \pi(\omega(t),t) = \begin{cases} \alpha(\omega(t + 1), t + 1)), &\text{ $\omega(t + 1)\gt \omega(t)$,}\\ 0,&\text{если $\omega(t + 1)\lt \omega(t)$,} \end{cases} [/math]

[math]\pi(i, t)[/math]

[math]\chi(i, t)[/math]

[math]\alpha(t + 1) \lt \alpha(t)[/math]

[math]c(\alpha(t), t) = (A/\nu)c(\alpha(t + 1), t + 1) \ge 2Ak^2/\nu[/math]

лемма 3.1 Если [math]\alpha(i, t) \neq 0[/math] тогда

[math] \sum\limits^d_{j=0} k^{j-i}a(j, t) = \begin{cases} Nk^{-i}, &\text{ $i = \alpha(t)$,}\\ Nk^{-i} - \dfrac{c(i,t)}{A^2k^2}, &\text{ $i \gt \alpha(t)$,} \end{cases} [/math]

[math]\sum\limits^d_{j=0} k^ja(j, t) = N [/math]

[math] i = \alpha(t) [/math]

[math] a(j,t) = \begin{cases} 0, &\text{ $j \not\equiv i\quad mod \quad 2$,}\\ c(j, t), &\text{ $j = \alpha(t)$,}\\ (1 - \dfrac{1}{A^2k^2})c(j, t) &\text{ $\alpha(t) \lt j \lt i, \quad j \equiv i \; mod \; 2$} \end{cases} [/math]

[math] c(j, t) = c(i, t)A^{j-i}[/math] когда [math]i\ge\alpha(t)+2[/math]

лемма 3.2 Если [math]\alpha(t + 1) \gt \alpha(t) [/math] тогда [math]\alpha(t) = 0[/math] или [math]c(\alpha(t),t)\le Ak^2/\nu[/math]

[math]\alpha(t+1) \gt \alpha(t) \gt 0[/math]

[math]\alpha(t) - 1 \lt \alpha^*(t + 1) [/math]

[math]c(\alpha(t),t) \lt 2Ak^2/\nu[/math]

Анализ сети

[math](\dfrac{1}{k} + \dfrac{\mu\delta kA^2}{1 - \delta^2k^2A^2})c(i,t)[/math]

[math] \dfrac{1}{k}(Nk^{-i} - c(i,t)) [/math]

[math] \sum\limits_{j\ge 1} k^{2j-1}\mu\delta^{2j-1}c(i+2j, t) [/math]

[math] \sum\limits_{j\ge 1} (k\delta)^{2j-1}c(i+2j, t) = c(i,t)\sum\limits_{j\ge 1} (k\delta)^{2j-1}A^{2j} \lt c(i,t)\dfrac{\delta k A^2}{1-\delta^2k^2A^2} [/math]

[math]\dfrac{1}{k}Nk^{-i}[/math]

лемма 4.2

[math](\mu + (k - 1)\dfrac{\mu\delta k A^2}{1 - \delta^2k^2A^2} + \dfrac{A\nu k - 2A\nu + 1}{2k^2A^2} + \varepsilon_B)c(i,t)[/math]

[math]c=c(i, t), \quad a=a(i,t),\quad \pi=\pi(i,t), \quad \chi=\chi(i, t) [/math]

[math]\Delta_1 = \dfrac{\mu\delta kA^2}{1-\delta^2k^2A^2}c[/math]

[math]\Delta_2 = \dfrac{\nu}{1 - \delta^2k^2A^2}c[/math]

[math] \Delta = \begin{cases} \Delta_1,&\text{ $i = \alpha(t) \lt \alpha(t+1)$,}\\ \Delta_2,&\text{ $i = \omega(t) \lt \omega(t+1)$,}\\ \Delta_1 + \Delta_2,&\text{если $\alpha(t) \lt i \lt \omega(t) \quad ||\quad i = \alpha(t) \gt \alpha(t + 1), t \ge 2$,} \end{cases} [/math]

[math](k - 1)\Delta - \dfrac{1}{2}\pi \le (k - 1)\Delta_1 + \dfrac{A\nu k - 2A\nu + 1}{2A^2k^2}c [/math]

лемма 4.3

[math] \varepsilon^* \le \dfrac{\mu}{k},[/math]

[math](\mu + (k - 1)\dfrac{\mu\delta k A^2}{1 - \delta^2k^2A^2} + \dfrac{A\nu k - 2A\nu + 1}{2k^2A^2} + \varepsilon_B)\dfrac{1}{A\nu} + \mu\delta\dfrac{Ak}{\nu} \le \mu [/math]

Лемма 4.4

[math]\mu \le \dfrac{\nu}{Ak^2}, [/math]

[math]\mu\le\dfrac{1}{2}\delta_F\dfrac{A\nu k - 1}{A^2k^2},[/math]

[math]\varepsilon_F\dfrac{1}{A\nu} + \delta^2\dfrac{Ak}{\nu} \le \delta [/math]

[math]\dfrac{\pi(i,t)}{c(i,t)} \ge \dfrac{A\nu k - 1}{A^2k^2}[/math]

Лемма 4.5

[math]\mu\delta^rc(\alpha(t_f),t_f) \le 1[/math]