Изменения

'''* 1)''' В силу (r.1) выполняется <tex>r(\emptyset)=0</tex>, следовательно <tex> \emptyset \in \mathcal{I}</tex><br>

'''* 2)''' Пусть <tex> I \in \mathcal{I}</tex> и <tex>J \subseteq I</tex>. Предположим от противного, что <tex>r(J) < |J|</tex>. Тогда, используя (r.1) и (r.3), получаем: <br>*:<tex>|I| = r(I) = r(J \cup (I \setminus J)) \le r(J) + r(I \setminus J) - r(\emptyset) < |J| + |I \setminus J| = |I|</tex>, <br>*:что невозможно. Следовательно, <tex>r(J) = |J|</tex>, т.е. <tex> J \in \mathcal{I} </tex> <br>

|proof=:По индукции: предположим, что <tex>r(B \cup p_1 \cup ... \cup p_j) = |B|</tex> для некоторого <tex>j = 1,...,t-1</tex>. Тогда, применяя (r.2) и (r.3), получаем: <br>:<tex>|B| = r(B) \le r(B \cup p_1 \cup ... \cup p_j+1) \le r(B \cup p_1 \cup ... \cup p_j) + r(B \cup p_j+1) -r(B) = |B| + |B| - |B| = |B| </tex>. <br>:Следовательно, <tex>r(B \cup p_1 \cup ... \cup p_j+1) = |B|</tex>. Переход доказан, а значит, <tex>r(B \cup p_1 \cup ... \cup p_t) = |B|</tex>. <br>

'''* 3)''' Пусть <tex>I, J \in \mathcal{I}</tex> и <tex>|I| < |J|</tex>. Положим <tex>J \setminus I = \{p_1,...,p_t\}</tex>. Пусть, от противного, <tex>I \cup p_i \notin \mathcal{I}</tex> для любого <tex>i = 1,...,t</tex>. Тогда для <tex>i = 1,...,t</tex> имеет место: <br>*:<tex> |I| = r(I) \le r(I \cup p_i) < |I \cup p_i| = |I| + 1</tex>, т.е. <tex> r(I \cup p_i) = |I|</tex>. </br> *: Отсюда, в силу доказанной раннее леммы, получаем <tex> r(I \cup J) = |I|</tex>. С другой стороны, <tex>|I| < |J| = r(J) \le r(I \cup J)</tex>. Противоречие. <br>