Изменения

== Постановка задачи Введение ==Определим пересечение [[Файл:PSLG_overlaying_w.png|400px|right|thumb|Пример работы алгоритма пересечения ППЛГ]]Пересечением двух [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|ППЛГ]] является ППЛГ, получающийся наложением двух исходных ППЛГ с созданием вершин в точках пересечения ребер. Определим пересечение двух ППЛГ <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex> как ППЛГ <tex>O(S_1, S_2)</tex>, такой, что в нем существует грань <tex>f</tex> тогда и только тогда, когда существуют грани <tex>f_1</tex> в <tex>S_1</tex> и <tex>f_2</tex> в <tex>S_2</tex> такие, что <tex>f</tex> является наибольшим связным подмножеством <tex>f_1 \cap f_2</tex>. Иначе говоря, пересечение двух ППЛГ — это разбиение плоскости с помощью ребер из <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex>. {{Задача|definition = Необходимо построить [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]] для <tex>O(S_1, S_2)</tex>, имея РСДС для <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex>. Кроме того, для каждой грани из <tex>O(S_1, S_2)</tex> будем хранить ссылки на грани из <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex>, содержащие ее. <картинка>}}

Для начала, скопируем ППЛГ <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex> в новый РСДС. Далее необходимо преобразовать полученный РСДС, чтобы он соответствовал <tex>O(S_1, S_2)</tex>. Отдельно рассмотрим преобразования вершин, полуребер и граней.

[[Файл:PSLG_sweep_w.png|220px|right|thumb|Алгоритм заметающей прямой]]Алгоритм базируется на [[Пересечение множества отрезков|заметающей прямой]], определяющей пересечения отрезков. Запускаем алгоритм на множестве отрезков, представляющих собой ребра из <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex>. Напомним, что алгоритм поддерживает очередь событий <tex>Q</tex> и текущий статус <tex>T</tex> заметающей прямой. Также будем поддерживать ссылки между ребрами статуса и соответствующими полуребрами из РСДС. Поддерживаемый инвариант: в любой момент времени РСДС над заметающей прямой корректный РСДС. <картинка> Обработка точки события происходит следующим образом: сначала обновляем <tex>Q</tex> и <tex>T</tex> (как в алгоритме пересечения отрезков)корректен. Если оба ребра события принадлежат одному ППЛГ, переходим к следующему событию. В противном случае, необходимо модифицировать РСДС. Возможны следующие варианты событий (см. рисунок ниже):

Обработка точки события происходит следующим образом: сначала обновляем <картинкаtex>Q</tex> и <tex>T</tex> (как в алгоритме пересечения отрезков). Если оба ребра события принадлежат одному ППЛГ, переходим к следующему событию. В противном случае, необходимо модифицировать РСДС. Возможны следующие варианты пересечений (см. рисунок ниже):<ol type="a"><li>Вершина ребра <tex>e_2</tex> проходит через ребро <tex>e_1</tex>, разбивая его на два новых ребра.</li><li>Ребро <tex>e_1</tex> пересекает ребро <tex>e_2</tex>. Образуется четыре новых ребра.</li><li>Ребра <tex>e_1</tex> и <tex>e_2</tex> пересекаются в общей вершине.</li><li>Вершина ребра <tex>e_1</tex> проходит через ребро <tex>e_2</tex>, разбивая его на два новых ребра.</li><li>Ребра <tex>e_1</tex> и <tex>e_2</tex> имеют общий отрезок. Образуется новое ребро.</li></ol>

Рассмотрим один из случаев, остальные обрабатываются аналогично{| cellpadding="3"|[[Файл:PSLG_overlay_cases_w. Пусть ребро png|600px|center|thumb|Варианты пересечений ребер <tex>e</tex> из <tex>S_1</tex> пересекает вершину <tex>v</tex> из <tex>S_2</tex>. Ребро <tex>e</tex> заменяем двумя ребрами <tex>e'e_1</tex> и <tex>e''e_2</tex>. Два полуребра, соответствующих <tex>e</tex>, заменяются четырьмя полуребрами: два существующих полуребра будут исходить из концов <tex>e</tex>, а два новых полуребра — из <tex>v</tex> Слева направо случаи (см. рисунокa). Устанавливаем ссылки на близнецов для ребер <tex>- (e'</tex> и <tex>e''</tex>. Обновим ссылки на следующие полуребра для <tex>h_1</tex> и <tex>h_4</tex>, пусть это будут <tex>h_5</tex> и <tex>h_6</tex>, соответственно. Не забудем установить полуребра <tex>h_1</tex> и <tex>h_4</tex> в качестве предыдущих полуребер у <tex>h_5</tex> и <tex>h_6</tex>. Теперь обновим ссылки на полуребра, инцидентные вершине <tex>v</tex>. Для этого сначала при помощи порядка обхода определим, между какими полуребрами <tex>S_2</tex> находится <tex>e</tex>. Рассмотрим полуребро <tex>h_3</tex>: свяжем его с первым полуребром, видимым из <tex>h_4</tex> при обходе по часовой стрелке и исходящем из <tex>v</tex>. Полуребро <tex>h_4</tex> должно быть связано с первым полуребром, идущим в <tex>v</tex>, при обходе против часовой стрелки. Аналогично обработаем <tex>e''</tex>).]] <картинка>|}

Большинство шагов алгоритма требуют работают константное время. Определение соседних полуребер с <tex>e'</tex> и <tex>e''</tex> происходит за линейное время от степени вершины. Следовательно, обновление РСДС не увеличивает время работы алгоритма пересечения отрезков, поэтому сведения о вершинах и полуребрах для итогового РСДС могут быть вычислены за время <tex>O(n \log{n} + k \log{n})</tex>, где <tex>n</tex> — сумма сложности сложностей <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex>, <tex>k</tex> — сложность количество точек пересечения.

[[Файл:PSLG_left_vertex_w.png|250px|right|thumb|Поиск внешних границ и дырок. Вершины <tex>v</tex> и <tex>u</tex> – левые вершины циклов. Для полуребер <tex>h_1</tex> и <tex>h_2</tex> грань <tex>f</tex> является внутренней, для полуребер <tex>h_3</tex> и <tex>h_4</tex> – внешней.]]Необходимо получить информацию о гранях итогового РСДС: ссылка на полуребро внешней границы, список ссылкок ссылок на полуребра дырок внутри грани, ссылка на грани из <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex>, содержащие новую грань. Также необходимо для полуребер установить ссылки на инцидентную грань.Количество У каждой грани существует уникальная внешняя граница, поэтому количество граней будет на единицу больше, чем количество внешних границ (дополнительная грань граница ограничивает весь ППЛГ). Таким образом, каждой грани можно ставить в соответствие внешнюю границу данной грани (кроме внешней грани ППЛГ, для нее мы введем мнимую внешнюю границу). Следовательно, необходимо обойти все внешние границы ППЛГ и создать грань для каждой границы. Для того, чтобы определить, является цикл внешней границей или дыркой, рассмотрим самую левую вершину цикла <tex>v</tex> (нижнюю из левых, в случае равенстваопределяется обходом по циклу). Напомним, что полуребра ориентированы так, что инцидентная им грань лежит левее полуребра. С учетом этого, оценим угол внутри грани между полуребрами, инцидентными <tex>v</tex>. Если угол меньше <tex>180^\circ</tex>, то цикл является внешней границейграни, в противном случае – дыркойлежит внутри грани. Данное свойство выполняется для вершины <tex>v</tex>, но может не выполняться для остальных вершин. <картинка>

Для определения того, какие границы принадлежат одной грани, постоим построим вспомогательный граф <tex>G</tex>, в котором каждая граница является вершиной. Также добавим вершину для мнимой границы внешней грани. Между двумя циклами (вершинами графа) , соответствующим двум циклам РСДС, существует ребро тогда и только тогда, когда один цикл является границей дырки, а второй цикл является ближайшим слева к самой левой вершине первого цикла. Если левее самой левой вершины цикла нет полуребер, то соединим этот цикл с мнимой границей внешней грани ППЛГ.{| cellpadding="3"| [[Файл:PSLG_graph_w.png|400px|center|thumb|Построение графа <tex>G</tex>]]|}

Покажем, что каждый цикл, ограничивающий дырку грани <tex>f</tex>, находится в одной компоненте связности с внешней границей грани <tex>f</tex>. Предположим, что существует цикл, для которого это не выполняется. Пусть <tex>C</tex> – самый левый такой цикл, причем его левая вершина также самая левая. По определению, существует ребро между <tex>C</tex> и циклом <tex>C'</tex>, который лежит левее <tex>C</tex>. Следовательно, <tex>C'</tex> лежит в одной компоненте связности с <tex>C</tex>, но причем <tex>C'</tex> не является внешней границей <tex>f</tex>f. Противоречие с определением Получается, что <tex>C'</tex> лежит левее <tex>C</tex>, что противоречит определению <tex>C</tex>.

Напомним, что в алгоритме заметающей прямой для пересечения отрезков мы искали ближайший отрезок, находящийся левее точки события. Эта информация необходима для построения графа <tex>G</tex>. Сначала создадим вершину для каждой границы. Далее необходимо построить ребра в графе, для этого найдем левую вершину каждой дырки и определим, какое ребро лежит слева от данной вершины. Для эффективности будем для каждого полуребра хранить ссылку на вершину графа, содержащую это полуребро. Таким образом, информация о гранях может быть восстановлена за время <tex>O(n + k)</tex>, после алгоритма заметающей прямой. Также заметим, что информацию о структуре графа можно хранить в записях граней.

=== Итог ===Вход: два ППЛГ <tex>S_1</tex>и <tex>S_2</tex>, представленные в виде РСДС. Выход: пересечение <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex>, представленное в виде РСДС <tex>D</tex>.# Скопируем <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex> в новый РСДС <tex>D</tex>.# Найдем пересечения ребер из <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex> с помощью заметающей прямой. При обработке события будем обновлять <tex>D</tex>, если событие затрагивает <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex>. Также для вершины события сохраним информацию о ближайшем полуребре слева.# Найдем граничные циклы в <tex>O(S_1, S_2)</tex>, обходя <tex>D</tex>.# Построим граф <tex>G</tex>, вершинам которого соответствуют циклы, соединив ребрами дырки и циклы, ближайшие слева к левым вершинам дырок.# Для каждой компоненты связности графа <tex>G</tex>: пусть <tex>C</tex> – внешняя граница компоненты связности, ограничивающая грань <tex>f</tex>. Создать запись для этой грани, установить ссылку на полуребро внешней границы грани и ссылки на полуребра дырок грани. Также для всех полуребер грани установить ссылки на инцидентную грань.# Для каждой грани <tex>f</tex> из <tex>O(S_1, S_2)</tex> установить ссылки на грани из <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex>, содержащие <tex>f</tex>. == Общее время работы =={{Теорема|statement=Пусть <tex>S_1</tex> имеет сложность <tex>n_1</tex>, <tex>S_2</tex> имеет сложность <tex>n_2</tex>, <tex>n = n_1 + n_2</tex>. Пересечение <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex> может быть построено за время <tex>O(n \log{n} + k \log{n})</tex>, где <tex>k</tex> – количество точек пересечения <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex>.|proof=Копирование двух РСДС в один занимает <tex>O(n)</tex> времени, заметающая прямая работает <tex>O(n \log{n} + k \log{n})</tex> времени по лемме. Создание граней работает линейное время от сложности <tex>O(S_1, S_2)</tex>. Маркировка граней РСДС работает за <tex>O(n \log{n} + k \log{n})</tex>.}} == См.также ==*[[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых]]*[[Пересечение множества отрезков]] == Источники информации ==* de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars. Computational Geometry, Algorithms and Applicants, 2008. pp. 33-39 [[Категория: Вычислительная геометрия]][[Категория: ППЛГ и РСДС]]