Двойственный матроид

Определение:

Двойственный матроид (англ. dual matroid) к [math] M = \; \langle X, \mathcal{B} \rangle[/math] — это матроид [math]M^*_1 = \; \langle X, \mathcal B^*_1 \rangle[/math], где [math] \mathcal B^*_1 = \; \{ \overline B |\; B \in \mathcal B \} [/math] — множество всех кобаз матроида [math]M.[/math]

Определение:

Двойственный матроид к [math] M = \; \langle X, I \rangle[/math] — это матроид [math]M^*_2 = \langle X, I^*_2 \rangle[/math], где [math]I^*_2 = \{A\ |\ \exists B \in \mathcal B: \ A \cap B = \varnothing\}[/math]

Теорема:

Множество [math]\mathcal B^*_1[/math] удовлетворяет аксиомам баз.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Следует из [math] | \mathcal B | = | \mathcal B^*_1 | [/math]. Предположим [math]\overline B_1, \overline B_2 \in \mathcal B^*_1, \ \overline B_1 \ne \overline B_2, \ \overline {B_1} \subseteq \overline {B_2} [/math]. Тогда по второй аксиоме баз для [math] B_{1,2} \ (B_1, B_2 \in \mathcal B):\ \overline {B_1} \subseteq \overline {B_2} \Rightarrow B_2 \subseteq B_1 [/math], а определение базы гласит, что в таком случае [math] B_1 = B_2, [/math] пришли к противоречию. Пусть [math] \overline{B_1}, \overline {B_2} \in \mathcal B^*_1[/math] и [math] p\in \overline{B_1}.[/math] Покажем, что в [math] B_1 \cup p [/math] содержится ровно один цикл. Так как [math] p\notin {B_1}, [/math] то по определению базы [math] B_1 \cup p \notin I [/math], а значит существует цикл [math]C \subseteq B_1 \cup p [/math]. Убедимся также, что он единственный. Положим [math] \exists C_1, C_2 \in \mathfrak{C}: \ C_1, C_2 \subseteq B_1 \cup p,\ C_1 \ne C_2 [/math]. Заметим, что [math] p \in C_1, C_2 [/math], в противном случае цикл не содержащий [math] p [/math] был бы подмножеством [math] B_1 [/math], что невозможно. Следовательно по 3-му свойству циклов [math] \exists C_3 \in \mathfrak{C}: \ C_3 \subseteq (C_1 \cup C_2) \setminus p [/math]. Но помимо этого выполнено [math] (C_1 \cup C_2) \setminus p \subseteq B_1 [/math] — противоречие. Поскольку цикл [math]C[/math] не лежит в [math]B_2[/math], существует [math]q \in C \cap \overline {B_2}.[/math] Множество [math](B_1 \cup p) \setminus q[/math] не содержит циклов, так как разрушен единственный цикл. Поэтому оно независимо и [math]|(B_1 \cup p) \setminus q| = |B_1|.[/math] Следовательно, [math] (B_1 \cup p) \setminus q[/math] — база. Тогда [math]\overline {(B_1 \cup p \setminus q)} = \overline {(B_1 \cup p)} \cup q = (\overline {B_1} \setminus p) \cup q,[/math] где [math]q \in \overline {B_2}.[/math] То есть выполняется третья аксиома баз.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Матроиды [math] M^*_1 [/math] и [math] M^*_2 [/math] совпадают.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Требуется доказать: [math] I^*_1 = I^*_2. [/math] [math] A \in I^*_1 \Rightarrow A \in I^*_2 [/math] Для начала покажем от противного, что [math] \exists B \in \mathcal B: \ A \subseteq B [/math]. Предположим [math] S \in I [/math] — множество максимального размера среди таких, что [math] A \subseteq S [/math], причём [math] S [/math] — не база. Возмём также какое-нибудь [math] B \in \mathcal B[/math]. Раз [math] S [/math] не база, то [math] |S| \lt |B| [/math]. В таком случае по 3-ей аксиоме матроидов [math] \exists b \in B: \ S \cup b \in I [/math]. Получили противоречие, поскольку [math] S \cup b [/math] имеет большую мощность чем [math] S [/math]. Итак, возьмём [math] B [/math] — базу [math] M^*_1 [/math], включающую в себя [math] A [/math]. Согласно определению [math] M^*_1 [/math] выполнено [math]B \in \mathcal B_1 \Rightarrow \overline B \in \mathcal B [/math]. Поскольку [math] B \cap \overline B = \varnothing, A \subseteq B [/math], то [math] A \cap \overline B = \varnothing [/math]. В таком случае по определению [math] M^*_2 [/math] выполняется [math] A \in I^*_2 [/math]. [math] A \in I^*_2 \Rightarrow A \in I^*_1 [/math] [math] A \in I^*_2 [/math] означает, что [math] \exists B \in \mathcal B: \ A \cap B = \varnothing [/math]. Последнее можно записать иначе: [math] A \subseteq \overline B [/math]. Кроме того [math] B \in \mathcal B \Rightarrow \overline B \in \mathcal B_1 [/math] по определению [math] M^*_1 [/math]. Получили [math] A \subseteq \overline B \in \mathcal B_1 [/math], откуда следует [math] A \in I^*_1 [/math].

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Матроид, двойственный к матричному над телом [math]F[/math], так же является матричным над телом [math]F[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math] M = \langle X, \mathcal{I} \rangle[/math] — произвольный матричный матроид над телом [math]F[/math], [math] X = \{1,\ldots,m\} [/math], [math]r[/math] — его ранговая функция. Рассмотрим сначала крайний случай тривиального и (двойственного к нему) полного матроида. Матроид [math] M = \langle X, \mathcal{I} \rangle[/math] является тривиальным, если [math]\mathcal{I} = \varnothing [/math]. Матроид [math] M = \langle X, \mathcal{I} \rangle[/math] является полным, если [math]\mathcal{I} = 2^X[/math]. Они, очевидно, представимы над телом [math]F[/math] нулевой и единичной матрицей соответственно. Пусть теперь [math]M[/math] — произвольный нетривиальный и не полный матричный матроид. Тогда [math]M[/math] изоморфен матроиду столбцов некоторой [math](t \times m)[/math]-матрицы [math]P[/math] над телом [math]F[/math]. Т.к. матроид нетривиален и не полный, то [math]rg(P) = r[/math] и [math]0 \lt r \lt m [/math]. Рассмотрим следующую однородную систему уравнений над пространством векторов-столбцов [math]F^m[/math]: [math](1): PX=0[/math]. Для задания базиса ФСР этой системы нам достаточно [math]m - r[/math] линейно независимых векторов. Пусть [math](2): X_1, X_2,\ldots, X_{m-r}[/math] — базис пространства решений системы (1). Составим из этих столбцов [math](m \times (m - r))[/math]-матрицу [math]Q=(X_1, X_2, \ldots, X_{m-r})[/math]. Покажем, что матроид [math]M^*[/math] изоморфен матроиду строк матрицы [math]Q[/math] над телом [math]F[/math]. Для этого нам достаточно установить, что система каких-либо [math]r[/math] столбцов матрицы [math]P[/math] линейно независима тогда и только тогда, когда линейно независима дополняющая ее система [math]m - r[/math] строк матрицы [math]Q[/math]. Дополняющая система строк — это система строк, номера которых дополняют номера столбцов исходной системы столбцов до множества [math]\{1,\ldots, m\}[/math]. [math]\Longrightarrow[/math] Возьмем произвольную систему из r столбцов матрицы [math]P[/math]. Для простоты обозначений будем считать, что взяты первые[math]r[/math] столбцов (мы всегда можем переставить столбцы матрицы местами, не поменяв характера их линейной зависимости). Пусть [math]P_1(t\times r)[/math] — подматрица матрицы [math]P[/math], составленная из взятых первых [math]r[/math] столбцов. Рассмотрим однородную систему линейных уравнений над пространством векторов-столбцов [math]F^r[/math]: [math](3): P_1Y=0[/math] Пусть столбцы матрицы [math]P_1[/math] линейно зависимы. Тогда система (3) имеет ненулевое решение [math]Y[/math]. Добавим к нему снизу [math]m - r[/math] нулей, получим ненулевое решение [math]X[/math] системы (1). Выразим [math]X[/math] через базис (2) пространства решений системы (1): [math](4): X=\alpha_1 X_1 + \alpha_2 X_2 + \ldots + \alpha_{m-r} X_{m-r}[/math] где среди коэффициентов есть хотя бы один ненулевой элемент из [math]F[/math]. Введем в рассмотрение столбцы [math](5): X'_1, X'_2, \ldots, X'_{m-r}[/math] из пространства [math]F^{m-r}[/math], полученные соответственно из столбцов [math]X_1, X_2, \ldots, X_{m-r}[/math] отбрасыванием первых [math]r[/math] компонент. Составим из этих "урезанных" столбцов [math] ((m - r) \times (m - r))[/math]-матрицу [math]Q_1 = (X'_1, X'_2, \ldots, X'_{m-r})[/math]. Матрица [math]Q_1[/math] — это квадратная матрица порядка [math]m-r[/math], которая является подматрицей матрицы [math]Q[/math] и расположена внизу матрицы [math]Q[/math]. Из равенства (4) следует, что [math](6): 0=\alpha_1 X'_1 + \alpha_2 X'_2 + \ldots + \alpha_{m-r} X'_{m-r}[/math] т.е. система столбцов квадратной матрицы [math]Q_1[/math] линейно зависима. Тогда линейно зависима и система строк этой матрицы, т.е. линейно зависима система из [math]m - r[/math] последних строк матрицы [math]Q[/math]. Что и требовалось доказать. [math]\Longleftarrow[/math] Теперь докажем в обратную сторону. Пусть система каких-либо [math]m - r[/math] строк матрицы [math]Q[/math] линейно зависима. Для простоты обозначений будем считать, что эта система состоит из последних [math] m - r [/math] строк матрицы [math]Q[/math]. Тогда линейно зависима система (5) "урезанных" столбцов, составляющих матрицу [math]Q_1[/math]. Следовательно, некоторая нетривиальная линейная комбинация (6) "урезанных" столбцов равна [math]0[/math]. С помощью равенства (4) определим столбец [math]X[/math]. Поскольку система столбцов (2) линейно независима, имеем [math]X \ne 0[/math]. Столбец Х является решением системы (1), так как он равен линейной комбинации базиса пространства решений этой системы. Тогда столбец [math]Y[/math], полученный из столбца [math]x[/math] отбрасыванием последних [math]m - r[/math] нулевых компонент, является ненулевым решением системы (3). Следовательно, линейно зависима система из первых [math]r[/math] столбцов матрицы [math]P_1[/math], что и требовалось доказать.

[math]\triangleleft[/math]

См.также

• Аксиоматизация матроида базами

Источники информации

• Википедия — Двойственный матроид
• Wikipedia — Dual matroid
• Michel X. Goemans — Advanced Combinatorial Optimization, lection 8: Mathroids.
• Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. — Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы. ISBN 978-5-8114-1068-2