90
правок
Изменения
Новая страница: «'''Формулировка задачи:''' По заданному слову <tex>X[0..m-1]</tex> найти в тексте или словаре <tex>Y[0..n-...»
'''Формулировка задачи:''' По заданному слову <tex>X[0..m-1]</tex> найти в тексте или словаре <tex>Y[0..n-1]</tex> все слова, совпадающие с этим словом (или начинающиеся с этого слова) с учетом <tex>k</tex> возможных различий.
==Описание задачи с точки зрения динамического программирования==
Пусть <tex>d_{i,j}</tex> - расстояние между префиксами строк <tex>x</tex> и <tex>y</tex>, длины которых равны, соответственно, <tex>i</tex> и <tex>j</tex>, то есть
<tex>d_{i,j} = d(x(1,i), y(1,j))</tex>.
Чтобы решить задачу <tex>k</tex> различий, [[wikipedia:ru:Матрица_расстояний|матрицу расстояний]] надо преобразовать таким образом, чтобы <tex>d_{i,j}</tex> представлял минимальное расстояние между <tex>x(1, i)</tex> и любой подстрокой <tex>y</tex>, заканчивающейся символом <tex>y_j</tex>. Для этого достаточно ввести условие:
<tex>d_{0,j} = 0, 0 < j < n</tex> .
Оставшуюся часть матрицы вычислим с использованием цен редактирования расстояния Левенштейна и рекуррентного соотношения для <tex>d_{i,j}</tex>:
<tex>w(a,{\varepsilon}) = 1</tex>
<tex>w({\varepsilon}, b) = 1</tex>
<tex>w(a, b) = \left\{\begin{array}{llcl}
0&,\ a{\ne}b\\
1&,\ a=b\\
\end{array}\right.
</tex>
<tex>d_{i,j} = min(d_{i-1,j} + w(x_i,{\varepsilon}), d_{i,j-1} + w({\varepsilon}, y_j), d_{i-1,j-1} + w(x_i, y_i))</tex>
Теперь каждое значение, не превосходящее <tex>k</tex>, в последней строке указывает позицию в тексте, в которой заканчивается строка, имеющая не больше <tex>k</tex> отличий от образца.
===Пример===
Рассмотрим этот подход к решению задачи на примере: пусть <tex>X=ABCDE, Y=ACEABPCQDEABCR</tex>. Построим матрицу расстояний для этого случая:
[[Файл:Table_k_razlichiy.png]]
Последняя строка матрицы показывает, что вхождения образца с точностью до <tex>2</tex> отличий, заканчиваются в позициях <tex>3</tex>, <tex>10</tex>, <tex>13</tex> и <tex>14</tex>. Соответствующими подстроками являются <tex>ACE</tex>, <tex>ABPCQDE</tex>, <tex>ABC</tex> и <tex>ABCR</tex>.
==Алгоритм==
[[Алгоритм_Укконена|Алгоритм Укконена]] говорит, что при вычисления расстояний между строками, диагонали матрицы можно пронумеровать целыми числами <tex>p {\in} [-m, n]</tex>, таким образом, чтобы диагональ <tex>p</tex> состояла из элементов <tex>(i, j)</tex>, у которых <tex>j - i = p</tex>. Пусть <tex>r_{p,q}</tex> представляет наибольшую строку <tex>i</tex>, у которой <tex>d_{i,j} = q</tex> и <tex>(i, j)</tex> лежит на диагонали <tex>p</tex>. Таким образом, <tex>q</tex> – это минимальное число различий между <tex>x(1, r_{p,q})</tex> и любой подстрокой текста, заканчивающейся <tex>y_{r_{p,q}+p}</tex>. Значение <tex>m</tex> в строке <tex>r_{p,q}</tex>, для <tex>q < k</tex>, указывает, что в тексте имеется вхождение образца с точностью до <tex>k</tex> отличий, заканчивающееся в <tex>y_{m+p}</tex>. Таким образом, чтобы решить задачу <tex>k</tex> различий, достаточно вычислить значения <tex>r_{p,q}</tex> для <tex>q < k</tex>.
Рассмотрим алгоритм вычисления <tex>r_{p,q}</tex>.
'''for''' p = 0 '''to''' n
r(p,-1) = -1
'''for''' p = -(k+1) '''to''' -1
r(p,|p|-1) = |p|-1
r(p,|p|-2) = |p|-2
'''for''' q = -1 '''to''' k
r(n+1,q) = -1
'''for''' q = 0 '''to''' k
'''for''' p = -q '''to''' n
r = max(r(p,q-1) + 1, r(p-1,q-1), r(p+1,q-1) + 1)
r = min(r, m)
'''while''' r < m '''and''' r + p < n '''and''' x(r+1) = y(r+1+p)
r++
r(p,q) = r
'''if''' r(p,q) = m
имеется вхождение с k отличиями, заканчивающееся в y(p+m)
Алгоритм вычисляет значения <tex>r_{p,q}</tex> на <tex>n+k+1</tex> диагоналях. Для каждой диагонали переменной строки <tex>r</tex> можно присвоить не больше <tex>m</tex> различных значений, что приводит к времени вычислений <tex>O(mn)</tex>. Рассмотрим как можно ускорить решение этой задачи, используя другие методы.
===Предварительные вычисления===
На этапе предварительной обработки, с помощью алгоритма Вейнера<ref>[http://europa.zbh.uni-hamburg.de/pubs/pdf/GieKur1997.pdf Giegerich R., Kurtz S. {{---}} From Ukkonen to McCreight and Weiner: A Unifying View of Linear-Time Suffix Tree Construction]</ref> строится [[wikipedia:ru:Суффиксное_дерево|суффиксное дерево]] строки <tex>y{\#}x{\$}</tex>, где <tex>\#</tex> и <tex>\$</tex> – символы, не принадлежащие алфавиту, над которыми построены строки <tex>x</tex> и <tex>y</tex>. Этот алгоритм требует линейных затрат памяти, и, для алфавита фиксированного размера, линейного времени. Для неограниченных алфавитов этот алфавит можно преобразовать так, что он будет выполняться за время <tex>O(n\log{\sigma})</tex>, где <tex>\sigma</tex> – число различающихся символов образца. Стадия предварительной обработки требует время <tex>O(n)</tex> и <tex>O(n\log{m})</tex> для постоянного и неограниченного алфавитов, соответственно.
===Модификация предыдущего алгоритма===
В приведенном выше алгоритме перед циклом <tex>while</tex> для диагонали <tex>p</tex>, переменной <tex>r</tex> было присвоено такое значение, что <tex>x(1, r)</tex> сопоставляется с точностью до <tex>k</tex> различий с некоторой подстрокой текста, заканчивающейся <tex>y_{r+p}</tex>. Тогда функция цикла <tex>while</tex> находит максимальное значение для которого <tex>x(r+1, r+h) = y(r+p+1, r+p+h)</tex>. Обозначим это значение как <tex>h</tex>. Это эквивалентно нахождению длины самого длинного общего префикса суффиксов <tex>x(r+1, m)\$</tex> и <tex>y(r+p+1,n){\#}x{\$}</tex> предварительно вычисленной конкатенированной строки. Символ <tex>\#</tex> используется для предотвращения ситуаций, в которых может ошибочно рассматриваться префикс, состоящий из символов как <tex>y</tex>, так и <tex>x</tex>. Обозначим <tex>lca(r,p)</tex> как самый низкий общий предок в суффиксном дереве с листьями, определенными вышеуказанными суффиксами, тогда нужное значение <tex>h</tex> задается <tex>length(lca(r,p))</tex>.
===Оценка времени работы===
Суффиксное дерево имеет <tex>O(n)</tex> узлов. Для поддержки определения самого низкого общего предка за линейное время, алгоритмам <tex>LCA</tex> требуется преобразование дерева, проводимое за линейное время. Значения <tex>r_{p,q}</tex> вычисляются на <tex>n+k+1</tex> диагоналях. Более того, для каждой диагонали надо вычислить <tex>k+1</tex> таких значений, что в общей сложности дает <tex>O(kn)</tex> запросов. Таким образом, общее время работы алгоритма k различий составляет <tex>O(kn)</tex> для алфавитов фиксированного размера, и <tex>O(n * \log{m} + kn)</tex> для неограниченных алфавитов.
===Параллельная версия алгоритма===
В 1989 году Ландау и Вишкин разработали параллельную версию алгоритма. Она позволяет уменьшить время работы до <tex>O(\log{n}+k)</tex>, при использовании одновременно <tex>n</tex> процессоров. Для данной оценки необходимо, чтобы каждый из процессоров выполнял последовательный запрос <tex>LCA</tex> за <tex>O(1)</tex>.
==Примечания==
<references/>
==Источники информации==
* [http://algolist.manual.ru/search/fsearch/k_razl.php k-различий - алгоритм Ландау-Вишкина]
==Описание задачи с точки зрения динамического программирования==
Пусть <tex>d_{i,j}</tex> - расстояние между префиксами строк <tex>x</tex> и <tex>y</tex>, длины которых равны, соответственно, <tex>i</tex> и <tex>j</tex>, то есть
<tex>d_{i,j} = d(x(1,i), y(1,j))</tex>.
Чтобы решить задачу <tex>k</tex> различий, [[wikipedia:ru:Матрица_расстояний|матрицу расстояний]] надо преобразовать таким образом, чтобы <tex>d_{i,j}</tex> представлял минимальное расстояние между <tex>x(1, i)</tex> и любой подстрокой <tex>y</tex>, заканчивающейся символом <tex>y_j</tex>. Для этого достаточно ввести условие:
<tex>d_{0,j} = 0, 0 < j < n</tex> .
Оставшуюся часть матрицы вычислим с использованием цен редактирования расстояния Левенштейна и рекуррентного соотношения для <tex>d_{i,j}</tex>:
<tex>w(a,{\varepsilon}) = 1</tex>
<tex>w({\varepsilon}, b) = 1</tex>
<tex>w(a, b) = \left\{\begin{array}{llcl}
0&,\ a{\ne}b\\
1&,\ a=b\\
\end{array}\right.
</tex>
<tex>d_{i,j} = min(d_{i-1,j} + w(x_i,{\varepsilon}), d_{i,j-1} + w({\varepsilon}, y_j), d_{i-1,j-1} + w(x_i, y_i))</tex>
Теперь каждое значение, не превосходящее <tex>k</tex>, в последней строке указывает позицию в тексте, в которой заканчивается строка, имеющая не больше <tex>k</tex> отличий от образца.
===Пример===
Рассмотрим этот подход к решению задачи на примере: пусть <tex>X=ABCDE, Y=ACEABPCQDEABCR</tex>. Построим матрицу расстояний для этого случая:
[[Файл:Table_k_razlichiy.png]]
Последняя строка матрицы показывает, что вхождения образца с точностью до <tex>2</tex> отличий, заканчиваются в позициях <tex>3</tex>, <tex>10</tex>, <tex>13</tex> и <tex>14</tex>. Соответствующими подстроками являются <tex>ACE</tex>, <tex>ABPCQDE</tex>, <tex>ABC</tex> и <tex>ABCR</tex>.
==Алгоритм==
[[Алгоритм_Укконена|Алгоритм Укконена]] говорит, что при вычисления расстояний между строками, диагонали матрицы можно пронумеровать целыми числами <tex>p {\in} [-m, n]</tex>, таким образом, чтобы диагональ <tex>p</tex> состояла из элементов <tex>(i, j)</tex>, у которых <tex>j - i = p</tex>. Пусть <tex>r_{p,q}</tex> представляет наибольшую строку <tex>i</tex>, у которой <tex>d_{i,j} = q</tex> и <tex>(i, j)</tex> лежит на диагонали <tex>p</tex>. Таким образом, <tex>q</tex> – это минимальное число различий между <tex>x(1, r_{p,q})</tex> и любой подстрокой текста, заканчивающейся <tex>y_{r_{p,q}+p}</tex>. Значение <tex>m</tex> в строке <tex>r_{p,q}</tex>, для <tex>q < k</tex>, указывает, что в тексте имеется вхождение образца с точностью до <tex>k</tex> отличий, заканчивающееся в <tex>y_{m+p}</tex>. Таким образом, чтобы решить задачу <tex>k</tex> различий, достаточно вычислить значения <tex>r_{p,q}</tex> для <tex>q < k</tex>.
Рассмотрим алгоритм вычисления <tex>r_{p,q}</tex>.
'''for''' p = 0 '''to''' n
r(p,-1) = -1
'''for''' p = -(k+1) '''to''' -1
r(p,|p|-1) = |p|-1
r(p,|p|-2) = |p|-2
'''for''' q = -1 '''to''' k
r(n+1,q) = -1
'''for''' q = 0 '''to''' k
'''for''' p = -q '''to''' n
r = max(r(p,q-1) + 1, r(p-1,q-1), r(p+1,q-1) + 1)
r = min(r, m)
'''while''' r < m '''and''' r + p < n '''and''' x(r+1) = y(r+1+p)
r++
r(p,q) = r
'''if''' r(p,q) = m
имеется вхождение с k отличиями, заканчивающееся в y(p+m)
Алгоритм вычисляет значения <tex>r_{p,q}</tex> на <tex>n+k+1</tex> диагоналях. Для каждой диагонали переменной строки <tex>r</tex> можно присвоить не больше <tex>m</tex> различных значений, что приводит к времени вычислений <tex>O(mn)</tex>. Рассмотрим как можно ускорить решение этой задачи, используя другие методы.
===Предварительные вычисления===
На этапе предварительной обработки, с помощью алгоритма Вейнера<ref>[http://europa.zbh.uni-hamburg.de/pubs/pdf/GieKur1997.pdf Giegerich R., Kurtz S. {{---}} From Ukkonen to McCreight and Weiner: A Unifying View of Linear-Time Suffix Tree Construction]</ref> строится [[wikipedia:ru:Суффиксное_дерево|суффиксное дерево]] строки <tex>y{\#}x{\$}</tex>, где <tex>\#</tex> и <tex>\$</tex> – символы, не принадлежащие алфавиту, над которыми построены строки <tex>x</tex> и <tex>y</tex>. Этот алгоритм требует линейных затрат памяти, и, для алфавита фиксированного размера, линейного времени. Для неограниченных алфавитов этот алфавит можно преобразовать так, что он будет выполняться за время <tex>O(n\log{\sigma})</tex>, где <tex>\sigma</tex> – число различающихся символов образца. Стадия предварительной обработки требует время <tex>O(n)</tex> и <tex>O(n\log{m})</tex> для постоянного и неограниченного алфавитов, соответственно.
===Модификация предыдущего алгоритма===
В приведенном выше алгоритме перед циклом <tex>while</tex> для диагонали <tex>p</tex>, переменной <tex>r</tex> было присвоено такое значение, что <tex>x(1, r)</tex> сопоставляется с точностью до <tex>k</tex> различий с некоторой подстрокой текста, заканчивающейся <tex>y_{r+p}</tex>. Тогда функция цикла <tex>while</tex> находит максимальное значение для которого <tex>x(r+1, r+h) = y(r+p+1, r+p+h)</tex>. Обозначим это значение как <tex>h</tex>. Это эквивалентно нахождению длины самого длинного общего префикса суффиксов <tex>x(r+1, m)\$</tex> и <tex>y(r+p+1,n){\#}x{\$}</tex> предварительно вычисленной конкатенированной строки. Символ <tex>\#</tex> используется для предотвращения ситуаций, в которых может ошибочно рассматриваться префикс, состоящий из символов как <tex>y</tex>, так и <tex>x</tex>. Обозначим <tex>lca(r,p)</tex> как самый низкий общий предок в суффиксном дереве с листьями, определенными вышеуказанными суффиксами, тогда нужное значение <tex>h</tex> задается <tex>length(lca(r,p))</tex>.
===Оценка времени работы===
Суффиксное дерево имеет <tex>O(n)</tex> узлов. Для поддержки определения самого низкого общего предка за линейное время, алгоритмам <tex>LCA</tex> требуется преобразование дерева, проводимое за линейное время. Значения <tex>r_{p,q}</tex> вычисляются на <tex>n+k+1</tex> диагоналях. Более того, для каждой диагонали надо вычислить <tex>k+1</tex> таких значений, что в общей сложности дает <tex>O(kn)</tex> запросов. Таким образом, общее время работы алгоритма k различий составляет <tex>O(kn)</tex> для алфавитов фиксированного размера, и <tex>O(n * \log{m} + kn)</tex> для неограниченных алфавитов.
===Параллельная версия алгоритма===
В 1989 году Ландау и Вишкин разработали параллельную версию алгоритма. Она позволяет уменьшить время работы до <tex>O(\log{n}+k)</tex>, при использовании одновременно <tex>n</tex> процессоров. Для данной оценки необходимо, чтобы каждый из процессоров выполнял последовательный запрос <tex>LCA</tex> за <tex>O(1)</tex>.
==Примечания==
<references/>
==Источники информации==
* [http://algolist.manual.ru/search/fsearch/k_razl.php k-различий - алгоритм Ландау-Вишкина]
