577
правок
Изменения
→Алгоритм разделения АВЛ-дерева на два, где в первом дереве все ключи меньше заданного x, а во втором - больше
Если мы пришли в поддерево <tex>Q</tex>, корень которого <tex>> x</tex>, совершаем аналогичные действия: делаем NULL'ами ссылки на корень <tex>Q</tex>, запоминая ссылку на его левое поддерево. Делаем новую вершину со значением бывшего корня левым листом самой левой вершины <tex>Q</tex> и запускаем балансировку. Объединяем полученное АВЛ-дерево с уже построенным ранее <tex>T_{2}</tex> аналогичным первому случаю способом, только теперь мы ищем самое левое поддерево <tex>T_{2}</tex>.
Рассмотри пример (рис. <tex>1</tex>). Цветом выделены поддеревья, которые после разделения должны отойти в дерево <tex>T_{1}</tex>. <tex>x = 76</tex>.
[[Файл:AVL.jpg|525px||Рис. 1. Разделение АВЛ-дерева на два.]]
Корень дерева <tex>\leqslant x</tex>, поэтому он со всем выделенным поддеревом должен отойти в дерево <tex>T_{1}</tex>. По описанному выше алгоритму отделяем это поддерево с корнем и делаем из них сбалансированное АВЛ-дерево <tex>T'</tex> (рис. <tex>2</tex>). Так как это первая ситуация, в которой корень рассматриваемого поддерева был <tex>\leqslant x</tex>, <tex>T'</tex> становится <tex>T_{1}</tex>. Далее по сохраненной ссылке спускаемся в правое поддерево. Его корень <tex>> x</tex>. Следовательно, строим из него и его правого поддерева <tex>T_{2}</tex> и спускаемся в левое поддерево. Снова корень <tex>\leqslant x</tex>. Строим новое <tex>T'</tex> и объединяем его с уже существующим <tex>T_{1}</tex> (рис. <tex>3</tex>).
[[Файл:АВВЛ2.jpg|525px||Рис. 2. Создание T'.]]
[[Файл:AVL3.jpg|1250px||Рис. 3. Объединение T' и T1.]]
Далее действуем по алгоритму и в итоге получаем (рис. <tex>4</tex>):
[[Файл:End.jpg|525px||Рис. 4. АВЛ-деревья после разделения.]]
Данный алгоритм имеет сложность <tex>O(\log^{2} n)</tex>. Рассмотрим решение, которое имеет сложность <tex>O(\log{n})</tex>.
Вернемся к примеру (рис. <tex>1</tex>). Теперь рекурсивно спустимся вниз и оттуда будем строить деревья <tex>T_{1}</tex> и <tex>T_{2}</tex>, передавая наверх корректные АВЛ-деревья. То есть для рис. 1 первым в дерево <tex>T_{1}</tex> придет вершина <tex>75</tex> с левым поддеревом (выделено светло-зеленым цветом), так как это корректное АВЛ-дерево, оно же и вернется из рекурсии. Далее мы попадем в вершину со значением <tex>70</tex> и должны слить ее и ее левое поддерево (выделено светло-синим) с тем, что нам пришло . И сделать это нужно так, чтобы передать наверх корректное АВЛ-дерево. Будем действовать по такому алгоритму, пока не дойдем до вершины.
Алгоритм построения следующий: пусть мы пришли в поддерево <tex>S</tex> с корнем <tex>\leqslant x</tex>. Тогда сольем его с уже построенным на тот момент <tex>T_{1}</tex> (<tex>T_{1}</tex> пришло снизу, а значит по условию рекурсии это корректное АВЛ-дерево, <tex>S \leqslant T_{1}</tex> и <tex>h(T_{1}) \leqslant h(S)</tex>). Но так как обычная процедура слияния сливает два АВЛ-дерева, а <tex>S</tex> не является корректным АВЛ-деревом, мы немного ее изменим.
