577
правок
Изменения
→Алгоритм разделения АВЛ-дерева на два, где в первом дереве все ключи меньше заданного x, а во втором - больше
Рассмотри пример (рис. 1). Цветом выделены поддеревья, которые после разделения должны отойти в дерево <tex>T_{1}</tex>. <tex>x = 76</tex>.
{| cellpadding="2"| || [[Файл:AVL.jpgjpg|thumb|left|525px||Рис. 1. Разделение АВЛ-дерева на два.]]|}
Корень дерева <tex>\leqslant x</tex>, поэтому он со всем выделенным поддеревом должен отойти в дерево <tex>T_{1}</tex>. По описанному выше алгоритму отделяем это поддерево с корнем и делаем из них сбалансированное АВЛ-дерево <tex>T'</tex> (рис. 2). Так как это первая ситуация, в которой корень рассматриваемого поддерева был <tex>\leqslant x</tex>, <tex>T'</tex> становится <tex>T_{1}</tex>. Далее по сохраненной ссылке спускаемся в правое поддерево. Его корень <tex>> x</tex>. Следовательно, строим из него и его правого поддерева <tex>T_{2}</tex> и спускаемся в левое поддерево. Снова корень <tex>\leqslant x</tex>. Строим новое <tex>T'</tex> и объединяем его с уже существующим <tex>T_{1}</tex> (рис. 3).
{| cellpadding="2"| || [[Файл:АВВЛ2.jpg|thumb|left|525px||Рис. 2. Создание T'.]]|}{| cellpadding="2"| || [[Файл:AVL3.jpg|thumb|left|1250px||Рис. 3. Объединение T' и T1.]]|}
Далее действуем по алгоритму и в итоге получаем (рис. 4):
{| cellpadding="2"| || [[Файл:End.jpg|thumb|left|525px||Рис. 4. АВЛ-деревья после разделения.]]|}
Данный алгоритм имеет сложность <tex>O(\log^{2} n)</tex>. Рассмотрим решение, которое имеет сложность <tex>O(\log{n})</tex>.
Разберем пример на рис. 1. Пусть мы рекурсивно спустились до узла <tex>77</tex>. Ключ больше <tex>x</tex>, поэтому эта вершина станет деревом <tex>T_{2}</tex> и передастся наверх. Теперь мы поднялись в узел <tex>75</tex>. Он со своим левым поддеревом станет деревом <tex>T_{1}</tex> и мы снова поднимемся наверх в узел <tex>70</tex>. Он со своим левым поддеревом снова должен отойти в дерево <tex>T_{1}</tex>, и так как теперь дерево <tex>T_{1}</tex> уже не пустое, то их надо слить. После слияния по описанному выше алгоритму получим (рис. 5)
{| cellpadding="2"| || [[Файл:Ex.jpg|thumb|left|525px||Рис. 5.]]|}
После мы поднимемся в вершину с ключом <tex>80</tex>. Она с правым поддеревом отойдет в дерево <tex>T_{2}</tex>. И на последней итерации мы поднимемся в корень дерева с ключом <tex>50</tex>, он с левым поддеревом отойдет в дерево <tex>T_{1}</tex>, после чего алгоритм завершится.
