Heavy-light декомпозиция

Heavy-light декомпозиция — техника разбиения дерева на множество рёберно-непересекающихся путей так, чтобы при прохождении от одной вершины до другой произошла смена не более, чем [math]O(\log{n})[/math] путей.

Описание задачи

Пусть у нас есть дерево [math]T[/math] c [math]n[/math] вершинами и нам нужно проводить операции на нем на пути от вершины [math]v[/math] до вершины [math]u[/math]. Множество подобных запросов делаются за время [math]O(\log{n})[/math] при Heavy-light декомпозиции.

Описание декомпозиции

Декомпозиция заключается в классификации всех рёбер дерева [math]T[/math] в 2 вида: легкие и тяжёлые. Введём функцию [math]s(v)[/math], которая будет обозначать размер поддерева вершины [math]v[/math]

Тяжёлые ребра — ребра [math](u, v)[/math] такие, что [math]s(v) \geq s(u) / 2[/math].

Лёгкие ребра — соответственно все остальные.

Теперь рассмотрим вершины, из которых не ведет ни одно тяжёлое ребро. Будем идти от них вверх до корня или пока не пройдем легкое ребро. Получится какое-то множество путей. Утверждается, что оно будет являться искомым.

Доказательство корректности полученной декомпозиции

Ну там понятно вроде

Примеры задач

Some examples