Heavy-light декомпозиция

Heavy-light декомпозиция — техника разбиения дерева на множество рёберно-непересекающихся путей так, чтобы при прохождении от одной вершины до другой произошла смена не более, чем [math]O(\log{n})[/math] путей.

Описание задачи

Пусть у нас есть дерево [math]T[/math] c [math]n[/math] вершинами и нам нужно проводить операции на нем на пути от вершины [math]v[/math] до вершины [math]u[/math]. Множество подобных запросов делаются за время [math]O(\log^p{n})[/math] при Heavy-light декомпозиции.

Описание декомпозиции

Пример разбиения на лёгкие/тяжёлые рёбра.

Декомпозиция заключается в классификации всех рёбер дерева [math]T[/math] в 2 вида: легкие и тяжёлые. Введём функцию [math]s(v)[/math], которая будет обозначать размер поддерева вершины [math]v[/math].

Тяжёлые ребра — ребра [math](u, v)[/math] такие, что [math]s(v) \geq[/math] [math]\frac{s(u)}{2}[/math].

Лёгкие ребра — соответственно все остальные.

Очевидно, что из вершины может выходить как максимум одно тяжёлое ребро, т.к. иначе у нас есть два поддерева по как минимум [math]\frac{s(u)}{2}[/math] вершин, а также сама вершина [math]u[/math]. Итого [math]s(u) + 1[/math] вершин, тогда как у нас всего [math]s(u)[/math] вершин в поддереве.

Теперь рассмотрим вершины, из которых не ведет ни одно тяжёлое ребро. Будем идти от них вверх до корня или пока не пройдем легкое ребро. Получится какое-то множество путей. Утверждается, что оно будет являться искомым.

Доказательство корректности полученной декомпозиции

Утверждение:

Полученная декомпозиция является искомой.

[math]\triangleright[/math]

Докажем по отдельности корректность декомпозиции. 1. Все рёбра покрыты путями. Есть два типа вершин: те, из которых ведёт ровно одно тяжёлое ребро и те, из которых не ведёт ни одного тяжёлого ребра. Для первого типа вершин мы дойдем до них некоторым путём через тяжёлое ребро снизу по определению выбора путей, а лёгкие рёбра ведущие из неё возьмем как последние рёбра в соответствующих путях. Для второго типа вершин мы по определению выбора путей возьмем их как начальные и пойдем вверх. Таким образом все рёбра будут покрыты. 2. Все пути не пересекаются. Докажем от противного. Пусть мы взяли какое-то ребро дважды. Это значит, что из какой-то вершины вело более чем одно тяжёлое ребро, чего быть не могло. Получили противоречие. 3. При прохождении пути от вершины [math]v[/math] до вершины [math]u[/math] произойдет смена не более, чем [math]O(\log{n})[/math] путей. Докажем эквивалентный факт, что при пути от любой вершины до корня мы сменим не более, чем [math]O(\log{n})[/math] путей. Рассмотрим лёгкое ребро. Заметим, что проход вниз по такому ребру уменьшает размер поддерева как минимум в 2 раза. Но смена пути может произойти только при переходе по лёгкому ребру. Таким образом мы сменим не более [math]O(\log{n})[/math] путей.

[math]\triangleleft[/math]

Применение

Сумма на пути

Классическая задача о сумме на пути в дереве с [math]n[/math] решается с помощью Heavy-light декомпозиции за время. Возможны модификации веса.

Построим дерево отрезков над каждым путём. Рассмотрим запрос [math]sum(u, v)[/math]. Давайте найдем вершину [math]c[/math], которая является [math]LCA(u, v)[/math] (например с помощью двоичного подъема. Мы разбили запрос на два: [math](u, c)[/math] и [math](c, v)[/math], на каждый из которых можно легко ответить выбирая путь, содержащий самую нижнюю вершину и вырезать его, пока этот путь не содержит [math]c[/math].

Так мы сможем получать ответ на пути за [math]O(\log{n})[/math]. А всего таких путей нужно будет рассмотреть [math]O(\log{n})[/math]. Итого мы способны решить эту задачу за время [math]O(\log^2{n})[/math].

Хоть это и не самый эффективный способ для решения этой задачи, но можно заметить, что с помощью такого трюка мы можем решить широкий класс задач просто сведя её к задаче о запросах в дереве отрезков (такие как максимум на пути, покраска на пути, прибавление на пути и др.).

Реализация

Здесь будет простая реализация Heavy-light декомпозиции