Поиск подстроки в строке с использованием хеширования. Алгоритм Рабина-Карпа

Алгоритм Рабина-Карпа предназначен для поиска подстроки в строке.

Метод хеширования

Наивный алгоритм поиска подстроки в строке работает за [math]O\left(n^2\right)[/math] в худшем случае — слишком долго. Чтобы ускорить этот процесс, можно воспользоваться методом хеширования.

Определение:

Пусть дана строка [math]s[0..n-1][/math]. Тогда полиномиальным хешем строки [math]s[/math] называется число [math]h = \mathrm{hash}(s[0..n-1]) = p^{0} s[0] + ... + p^{n - 1} s[n-1][/math], где [math]p[/math] — некоторое простое число, а [math]s[i][/math] [math]{-}[/math] код [math]i[/math]-ого символа строки [math]s[/math].

Проблему переполнения при вычислении хешей довольно больших строк можно решить так [math]{-}[/math] считать хеши по модулю [math]r=2^{64}[/math], чтобы модуль брался автоматически при переполнении типов.

Использование полиномиального хеша именно с убывающими степенями [math]p[/math] позволяет нам, зная хеш некоторой строки, посчитать хеш строки, образованной удалением первого символа и добавлением символа в конец, за [math]O(1)[/math]:

[math]\mathrm{hash}(s[i + 1..i + m - 1]) = (\mathrm{hash}(s[i..i + m - 1]) - p^{m - 1} s[i]) \bmod r[/math].

[math]\mathrm{hash}(s[i + 1..i + m]) = (p \cdot \mathrm{hash}(s[i + 1..i + m - 1]) + s[i + m]) \bmod r[/math].

Получается : [math]\mathrm{hash}(s[i + 1..i + m]) = (p \cdot \mathrm{hash}(s[i..i + m - 1]) - p^{m} s[i] + s[i + m]) \bmod r[/math].

Решение

Алгоритм

Алгоритм начинается с подсчета [math]\mathrm{hash}(s[0..m-1])[/math] и [math]\mathrm{hash}(p[0..m-1])[/math], а также с подсчета [math]p^{m}[/math], для ускорения ответов на запрос.

Для [math]i \in [0..n - m][/math] вычисляется [math]\mathrm{hash}(s[i..i + m - 1])[/math] и сравнивается с [math]\mathrm{hash}(p[0..m-1])[/math]. Если они оказались равны, то образец [math]p[/math] скорее всего содержится в строке [math]s[/math] начиная с позиции [math]i[/math], хотя возможны и ложные срабатывания алгоритма. Если требуется свести такие срабатывания к минимуму или исключить вовсе, то применяют сравнение некоторых символов из этих строк, которые выбраны случайным образом, или применяют явное сравнение строк, как в наивном алгоритме поиска подстроки в строке. В первом случае проверка произойдет быстрее, но вероятность ложного срабатывания, хоть и небольшая, останется. Во втором случае проверка займет время, равное длине образца, но полностью исключит возможность ложного срабатывания.

Если требуется найти индексы вхождения нескольких образцов, или сравнить две строки [math]{-}[/math] выгоднее будет предпосчитать все степени [math]p[/math], а также хеши всех префиксов строки [math]s[/math].

Псевдокод

Приведем пример псевдокода, который находит все вхождения строки [math]w[/math] в строку [math]s[/math] и возвращает массив позиций, откуда начинаются вхождения.

vector<int> rabinKarp (s : string, w : string):
   vector<int> answer
   int n = s.length
   int m = w.length
   int hashS = hash(s[0..m-1])
   int hashW = hash(w[0..m-1])
   for i = 0 to n - m
        if hashS == hashW
             answer.add(i)
        hashS = (p * hashS - p[math]^{m}[/math] * hash(s[i]) + hash(s[i + m])) mod r // r — некоторое большое число, p — некоторое просто число
   return answer

Новый хеш [math]hashS[/math] был получен с помощью быстрого пересчёта. Для сохранения корректности алгоритма нужно считать, что [math]s[n + 1][/math] — пустой символ.

Время работы

Изначальный подсчёт хешей выполняется за [math]O(m)[/math].

Каждая итерация выполняется за [math]O(1)[/math], В цикле всего [math]n - m + 1[/math] итераций.

Итоговое время работы алгоритма [math]O(n + m)[/math].

Однако, если требуется исключить ложные срабатывания алгоритма полностью, т.е. придется проверить все полученные позиции вхождения на истинность, то в худшем случае итоговое время работы алгоритма будет равно [math]O(n[/math] [math]\cdot[/math] [math]m)[/math].

Сравнение с другими алгоритмами

Преимущества

• Быстрая скорость работы — [math]O(n + m)[/math], где [math]n[/math] — длина строки, [math]m[/math] — длина образца.
• Простая и понятная реализация.

Недостатки

• Возможно подобрать входные данные так, что количество ложных срабатываний будет недопустимо большим (см. Пример худшего случая).

См. также

• Наивный алгоритм поиска подстроки в строке
• Поиск наибольшей общей подстроки двух строк с использованием хеширования

Источники информации

• Кормен, Томас Х., Лейзерсон, Чарльз И., Ривест, Рональд Л., Штайн Клиффорд Алгоритмы: построение и анализ, 3-е издание. Пер. с англ. — М.:Издательский дом "Вильямс", 2014. — 1328 с.: ил. — ISBN 978-5-8459-1794-2 (рус.) — страницы 1036–1041.
• Codeforces: Anti-hash test