403
правки
Изменения
Новая страница: «<tex>\ln x</tex> выпукла вверх. Рассмотрим <tex>\alpha_k: \forall \alpha_k \geq 0</tex>, <tex>\sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k = 1</tex> и на…»
<tex>\ln x</tex> выпукла вверх.
Рассмотрим <tex>\alpha_k: \forall \alpha_k \geq 0</tex>, <tex>\sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k = 1</tex> и набор <tex>\{x_1, x_2, \cdot x_n\}</tex>.
Применим неравенство <tex>\sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k\ln x_k \leq \ln \sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k x_k</tex>. Потенциируем.
<tex>e^{\sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k \ln x_k} \leq e^{\ln \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k x_k}</tex>
Запишем сумму логарифмов как логарифм произведения:
<tex>\prod\limits_{k = 1}^n x_k^{\alpha_k} \leq \sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k x_k</tex>
Частный случай — неравенство между обобщенным средним геометрическим и средним арифметическим при <tex>\alpha_k = \frac1n</tex>:
<tex>\sqrt[n]{\prod\limits_{k = 1}^n x_k} \leq \frac1n \sum\limits_{k = 1}^n x_k</tex>
Пусть теперь <tex>n = 2</tex>. Тогда
<tex>x_1^{\alpha_1} \cdot x_2^{\alpha_2} \leq \alpha_1x_1 + \alpha_2x_2, \, \alpha_1+\alpha_2 = 1, \, \alpha_i \geq 0, \, i = \bar{1, 2}</tex>
<tex>u = x_1^{\alpha_1}$, $v = x_2^{\alpha_2}</tex>
<tex>uv \leq \alpha_1 u^{1/\alpha_1} + \alpha_2 v^{1/\alpha_2}</tex>
<tex>p > 1</tex>.
{{Определение | definition =
<tex>q</tex> такое, что <tex>\frac1p + \frac1q = 1</tex> называется сопряжённым к <tex>p</tex>.
}}
<tex>\boxed{uv \leq \frac1p u^p + \frac1q v ^ q}<tex> — неравенство Юнга.
{{Теорема
|about=
Де Моргана
|statement=
Пусть <tex>a_1; a_2 \ldots a_n > 0</tex>, <tex>b_1; b_2 \ldots b_n > 0</tex>, <tex>p > 1</tex>, <tex>\frac1p + \frac1q = 1</tex>
Тогда
<tex>
\sum\limits_{k=1}^n a_k b_k \leq
\left(\sum\limits_{k = 1}^n a_k^p \right)^{1/p} +
\left(\sum\limits_{k = 1}^n b_k^p \right)^{1/q}
</tex>
|proof=
Обозначим <tex>A = \left( \sum\limits_{k = 1}^n a_k p \right)^{1/p}</tex>, <tex>B = \left( \sum\limits_{k = 1}^n b_k q \right)^{1/q}</tex>
По неравенству Юнга
<tex>
\forall k : \left(\frac{a_k}A\right) \cdot \left(\frac{b_k}B\right) \leq
\frac1p \left(\frac{a_k}A\right)^p + \frac1q \left(\frac{b_k}B\right)^q
</tex>
Сложим по <tex>k = \bar{1, n}</tex>:
<tex>
\sum\limits_{k = 1}^n \frac{a_k}{A} \cdot \frac{b_k}{B} \leq
\frac1p \sum\limits_{k = 1}^n \left(\frac{a_k}A\right)^p + \frac1q \sum\limits_{k = 1}^n \left(\frac{b_k}B\right)^q =
\frac1p \frac1{A^p} \sum\limits_{k = 1}^n a_k^p + \frac1q \frac1{B_q} \sum\limits_{k = 1}^n b_k^q =
\frac1p \frac1{A^p} A^p + \frac1q \frac1{B^q} B_q =
1
</tex>
Получили, что <tex>\sum\limits_{k = 1}^n \frac{a_k}{A} \frac{b_k}{B} \leq 1 \Rightarrow
\sum\limits_{k = 1}^n a_k b_k \leq AB</tex>
}}
=== Следствие ===
Для <tex>a_k, b_k > 0</tex> выполняется свойство Коши для сумм:
<tex>
\sum\limits_{k = 1}^n a_k b_k \leq \sqrt{\sum\limits_{k = 1}^n a_k^2} + \sqrt{\sum\limits_{k = 1}^n b_k^2}
</tex>
Для этого нужно подставить <tex>p = q = 2</tex>.
{{Теорема
|about=
Минковского
|statement=
Пусть снова <tex>a_1; a_2 \ldots a_n > 0</tex>, <tex>b_1; b_2 \ldots b_n > 0</tex>, <tex>p \leq 1</tex>.
Тогда
<tex>
\left(\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^p \right)^{1/p} \leq
\left(\sum\limits_{k = 1}^n a_k^p\right)^{1/p} + \left(\sum\limits_{k = 1}^n b_k^p\right)^{1/p}
</tex>
|proof=
При <tex>p = 1</tex> неравенство тривиально. Пусть тогда <tex>p \ne 1</tex>.
<tex>p > 1: (a_k + b_k)^p = a_k(a_k + b_k)^{p - 1} + b_k(a_k + b_k)^{p - 1}$, $p - 1 > 0</tex>.
Так как <tex>p > 1</tex>, положим <tex>q = \frac{p}{p - 1}</tex>. Применяем к
<tex>\sum\limits_{k = 1}^n a_k (a_k + b_k)^{p - 1}</tex> неравенство Гольдера:
<tex>
\sum\limits_{k = 1}^n a_k(a_k + b_k)^{p - 1} \leq
\left(\sum\limits_{k = 1}^n a_k^p \right)^{1/p} \cdot \left(\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^{p/q}\right)^{1/q}
</tex>
<tex>
\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^p =
\sum\limits_{k = 1}^n a_k(a_k + b_k)^{p - 1} + \sum\limits_{k = 1}^n b_k(a_k + b_k)^{p - 1} \leq
</tex>
<tex>
\leq \left(\sum\limits_{k = 1}^n a_k^p\right)^{1/p} \cdot
\left(\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^p\right)^{1/q} +
\left(\sum\limits_{k = 1}^n b_k^p\right)^{1/p} \cdot
\left(\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^p\right)^{1/q}
</tex>
Итого:
<tex>
\left(\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^p\right)^{1 - \frac1q} =
\left(\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^p\right)^{1/p} \leq
\left(\sum\limits_{k = 1}^n a_k^p\right)^{1/p} +
\left(\sum\limits_{k = 1}^n b_k^p\right)^{1/p}
</tex>
}}
=== Следствие ===
Неравенство Коши для сумм:
<tex>
\sqrt{\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^2} \leq
\sqrt{\sum\limits_{k = 1}^n a_k^2} +
\sqrt{\sum\limits_{k = 1}^n b_k^2}
</tex>
Рассмотрим <tex>\alpha_k: \forall \alpha_k \geq 0</tex>, <tex>\sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k = 1</tex> и набор <tex>\{x_1, x_2, \cdot x_n\}</tex>.
Применим неравенство <tex>\sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k\ln x_k \leq \ln \sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k x_k</tex>. Потенциируем.
<tex>e^{\sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k \ln x_k} \leq e^{\ln \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k x_k}</tex>
Запишем сумму логарифмов как логарифм произведения:
<tex>\prod\limits_{k = 1}^n x_k^{\alpha_k} \leq \sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k x_k</tex>
Частный случай — неравенство между обобщенным средним геометрическим и средним арифметическим при <tex>\alpha_k = \frac1n</tex>:
<tex>\sqrt[n]{\prod\limits_{k = 1}^n x_k} \leq \frac1n \sum\limits_{k = 1}^n x_k</tex>
Пусть теперь <tex>n = 2</tex>. Тогда
<tex>x_1^{\alpha_1} \cdot x_2^{\alpha_2} \leq \alpha_1x_1 + \alpha_2x_2, \, \alpha_1+\alpha_2 = 1, \, \alpha_i \geq 0, \, i = \bar{1, 2}</tex>
<tex>u = x_1^{\alpha_1}$, $v = x_2^{\alpha_2}</tex>
<tex>uv \leq \alpha_1 u^{1/\alpha_1} + \alpha_2 v^{1/\alpha_2}</tex>
<tex>p > 1</tex>.
{{Определение | definition =
<tex>q</tex> такое, что <tex>\frac1p + \frac1q = 1</tex> называется сопряжённым к <tex>p</tex>.
}}
<tex>\boxed{uv \leq \frac1p u^p + \frac1q v ^ q}<tex> — неравенство Юнга.
{{Теорема
|about=
Де Моргана
|statement=
Пусть <tex>a_1; a_2 \ldots a_n > 0</tex>, <tex>b_1; b_2 \ldots b_n > 0</tex>, <tex>p > 1</tex>, <tex>\frac1p + \frac1q = 1</tex>
Тогда
<tex>
\sum\limits_{k=1}^n a_k b_k \leq
\left(\sum\limits_{k = 1}^n a_k^p \right)^{1/p} +
\left(\sum\limits_{k = 1}^n b_k^p \right)^{1/q}
</tex>
|proof=
Обозначим <tex>A = \left( \sum\limits_{k = 1}^n a_k p \right)^{1/p}</tex>, <tex>B = \left( \sum\limits_{k = 1}^n b_k q \right)^{1/q}</tex>
По неравенству Юнга
<tex>
\forall k : \left(\frac{a_k}A\right) \cdot \left(\frac{b_k}B\right) \leq
\frac1p \left(\frac{a_k}A\right)^p + \frac1q \left(\frac{b_k}B\right)^q
</tex>
Сложим по <tex>k = \bar{1, n}</tex>:
<tex>
\sum\limits_{k = 1}^n \frac{a_k}{A} \cdot \frac{b_k}{B} \leq
\frac1p \sum\limits_{k = 1}^n \left(\frac{a_k}A\right)^p + \frac1q \sum\limits_{k = 1}^n \left(\frac{b_k}B\right)^q =
\frac1p \frac1{A^p} \sum\limits_{k = 1}^n a_k^p + \frac1q \frac1{B_q} \sum\limits_{k = 1}^n b_k^q =
\frac1p \frac1{A^p} A^p + \frac1q \frac1{B^q} B_q =
1
</tex>
Получили, что <tex>\sum\limits_{k = 1}^n \frac{a_k}{A} \frac{b_k}{B} \leq 1 \Rightarrow
\sum\limits_{k = 1}^n a_k b_k \leq AB</tex>
}}
=== Следствие ===
Для <tex>a_k, b_k > 0</tex> выполняется свойство Коши для сумм:
<tex>
\sum\limits_{k = 1}^n a_k b_k \leq \sqrt{\sum\limits_{k = 1}^n a_k^2} + \sqrt{\sum\limits_{k = 1}^n b_k^2}
</tex>
Для этого нужно подставить <tex>p = q = 2</tex>.
{{Теорема
|about=
Минковского
|statement=
Пусть снова <tex>a_1; a_2 \ldots a_n > 0</tex>, <tex>b_1; b_2 \ldots b_n > 0</tex>, <tex>p \leq 1</tex>.
Тогда
<tex>
\left(\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^p \right)^{1/p} \leq
\left(\sum\limits_{k = 1}^n a_k^p\right)^{1/p} + \left(\sum\limits_{k = 1}^n b_k^p\right)^{1/p}
</tex>
|proof=
При <tex>p = 1</tex> неравенство тривиально. Пусть тогда <tex>p \ne 1</tex>.
<tex>p > 1: (a_k + b_k)^p = a_k(a_k + b_k)^{p - 1} + b_k(a_k + b_k)^{p - 1}$, $p - 1 > 0</tex>.
Так как <tex>p > 1</tex>, положим <tex>q = \frac{p}{p - 1}</tex>. Применяем к
<tex>\sum\limits_{k = 1}^n a_k (a_k + b_k)^{p - 1}</tex> неравенство Гольдера:
<tex>
\sum\limits_{k = 1}^n a_k(a_k + b_k)^{p - 1} \leq
\left(\sum\limits_{k = 1}^n a_k^p \right)^{1/p} \cdot \left(\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^{p/q}\right)^{1/q}
</tex>
<tex>
\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^p =
\sum\limits_{k = 1}^n a_k(a_k + b_k)^{p - 1} + \sum\limits_{k = 1}^n b_k(a_k + b_k)^{p - 1} \leq
</tex>
<tex>
\leq \left(\sum\limits_{k = 1}^n a_k^p\right)^{1/p} \cdot
\left(\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^p\right)^{1/q} +
\left(\sum\limits_{k = 1}^n b_k^p\right)^{1/p} \cdot
\left(\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^p\right)^{1/q}
</tex>
Итого:
<tex>
\left(\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^p\right)^{1 - \frac1q} =
\left(\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^p\right)^{1/p} \leq
\left(\sum\limits_{k = 1}^n a_k^p\right)^{1/p} +
\left(\sum\limits_{k = 1}^n b_k^p\right)^{1/p}
</tex>
}}
=== Следствие ===
Неравенство Коши для сумм:
<tex>
\sqrt{\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^2} \leq
\sqrt{\sum\limits_{k = 1}^n a_k^2} +
\sqrt{\sum\limits_{k = 1}^n b_k^2}
</tex>
