102
правки
Изменения
→Абсолютная непрерывность интеграла
<tex>\forall \epsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 : \forall E \in \mathfrak{A} \quad \mu E < \delta \Rightarrow \int\limits_E |f|d\mu < \epsilon</tex>
|proof=
<tex>X_n = X (|f| > n) \quad X_n \supset X_{n+1} \supset ... \quad \bigcap X_n = e</tex>, т.к. <tex>f</tex> - суммируема, <tex>\mu e = 0</tex><br>
<tex>\nu E = \int\limits_E |f| d\mu</tex> - мера <tex>\nu</tex><br>
<tex>\nu X < + \infty</tex> (т.к. <tex>f</tex> - суммируема и <tex>\int\limits_X |f| d\mu < +\infty</tex>)</tex><br>
Тогда по свойству непрерывности меры сверху: <tex>\nu X_n \to 0</tex><br>
Запишем данное высказывание как <tex>\forall \epsilon > 0 \quad \exists n_\epsilon : \nu(X_{n_\epsilon}) < \dfrac{\epsilon}{2}</tex>, т.е. <tex>\int\limits_{X_{n_\epsilon}} |f| < \dfrac{\epsilon}{2}</tex><br>
Теперь пусть <tex>\delta := \dfrac{\epsilon}{2 \cdot n_\epsilon}</tex><br>
<tex>\int\limits_E |f| d\mu = \int\limits_{E \cap X_{n_\epsilon}} |f| d\mu + \int\limits_{E \cap X^C_{n_\epsilon}} |f| d\mu \leqslant \int\limits_{X_{n_\epsilon}} |f| d\mu + \int\limits_{E \cap X^C_{n_\epsilon}} n_\epsilon d\mu \leqslant \dfrac{\epsilon}{2} + n_\epsilon \cdot \mu E < \epsilon</tex>
}}
