Модуль непрерывности функции

Эта статья находится в разработке!

Определение:

Функция [math]\omega: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+[/math] называется модулем непрерывности, если: [math]\omega (0) = 0[/math] [math]\omega (t_1) \lt \omega (t_2)[/math] для [math]t_1, t_2: 0 \le t_1 \lt t_2[/math] [math]\omega (t_1 + t_2) \le \omega(t_1) + \omega(t_2)[/math]

Свойства модулей непрерывности

1) [math]\forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow \omega (nt) \le n \omega (t)[/math]
Доказательство ведётся по индукции. Для [math]n = 1[/math] неравенство тривиально.
Пусть утверждение верно для [math]n[/math]. Тогда [math]\omega((n + 1) t) = \omega(nt + t) \le \omega(nt) + \omega(t) \le n \omega(t) + \omega(t) = (n + 1) \omega (t)[/math], что и требовалось доказать.

2) [math]\forall \lambda \gt 0[/math] [math]\omega(\lambda t) \le (1 + \lambda) \omega (t)[/math]

Доказательство: [math]\lambda\quad\le\quad\lfloor\lambda\rfloor + 1[/math]

[math]\omega(\lambda t)\quad\le\quad\omega((\lfloor\lambda\rfloor + 1) t)\quad\le\quad(\lfloor\lambda\rfloor + 1)\omega (t)\quad\le\quad(1 + \lambda) \omega (t)[/math]