Изменения

4 Алгоритм K*Также как и алгоритм EppsteinЭппштейна, K* выполняет поиск пути на графе <tex>G </tex> и использует граф путей <tex>P(G)</tex>. Граф путей ищется с помощью алгоритма Дейкстры для того, чтобы вычислить пути <tex>s-t </tex> в виде последовательности запасных путей. Общий принцип работы алгоритма K* следующий:1) K* применяет A* на графе G вместо обратного алгоритма Дейкстры, который использует алгоритм Eppstein.2) Мы запускаем A* на G и Дейкстру на P(G) поочередно порядке, который позволяет Дейкстре доставить пути решение до заверешения поиска на G алгоритма A*.

4. 1 Поиск A* на G. ) K* применяет A* к входному графу на графе <tex>G для того</tex> вместо обратного алгоритма Дейкстры, чтобы определить дерево поиска Tкоторый используется алгоритмом Эппштейна. В отличие от алгоритма Eppstein в K* 2) Мы запускаем A* применяется к графу на <tex>G</tex> и Дейкстру на <tex>P(G )</tex> в прямом поочередном порядке из-за чего коренем дерева T является вершина s. Это необходимо для того, чтобы была возможность работать c неявным описанием графа G через функцию successor. На протяжении статьи будем считать граф G конечным, если не будет сказано иначе. Заметим, что Акоторый позволяет Дейкстре вычислить требуемые пути до заверешения полного поиска алгоритма A* корректен на конечных графах. Будем следовать литературному соглашению, предполагая, что стоимость бесконечного пути неограниченнаграфе <tex>G</tex> .

== 4.1 Поиск A* на G == K* применяет A* к входному графу <tex>G</tex> для того, чтобы построить дерево поиска <tex>T</tex>. Заметим, что A*, также как и алгоритм Дейкстры, строит дерево поиска в процессе нахождения кратчайшего пути <tex>s-t</tex> . Эти деревья формируются с помощью ссылок на родительские узлы, которые хранятся в том время, как A* производит итерации для того, чтобы восстановить путь <tex>s-t</tex>, когда вершина <tex>t</tex> ещё не найдена. Запасные ребра, открытые в процессе поиска A* на графе G, немедленно добавляются в граф P(G), структура которого будет объясняться в разделе 4.3.  В K* A* применяется к графу <tex>G</tex> в прямом направлении в отличие от алгоритма Эппштейна, из-за чего корнем дерева <tex>T</tex> является вершина начальная <tex>s</tex>. Это необходимо для того, чтобы была возможность работать c неявным описанием графа <tex>G</tex> через функцию successor (функция, возвращающая список исходящих ребер из данной вершины). На протяжение статьи будем считать граф <tex>G</tex> конечным, если не будет сказано иное. Заметим, что А* корректен на конечных графах. Будем следовать литературному соглашению, предполагая, что стоимость бесконечного пути неограниченна. == 4.2 Стоимость объезда==[[Файл:kstar-figure-3.png|600px|thumb|center|'''Рисунок 3.''' Исходный граф, в котором сплошные линии представляют построенное A* дерево поиска <tex>T</tex>. Пунктирные линии являются запасными ребрами.]]Для ребра <tex>(u, v) </tex> стоимость '''объезда ''' (англ. ''detour'') <tex>\delta(u, v) является стоимостью </tex> представляет стоимость '''ущерба ''' (англ. ''disadvantage'') из-за взятия ребра объезда <tex>(u, v) </tex> в сравнении с кратчайшим путем <tex>s-t </tex> через <tex>v</tex>. Ни длина кратчайшего пути <tex>s-t </tex> через <tex>v</tex>, ни длина пути <tex>s-t</tex>, включающего запапасные запасные ребра <tex>(u, v) </tex> не известны, когда A* обнаруживает <tex>(u, v)</tex>. Обе длины могут быть оценены с помощью функции оценки <tex>f</tex>, которая использует эвристическую функцию <tex>h</tex>. Путь Пусть <tex>f(v) </tex> будет <tex>f</tex>-значением с соответствии с деревом поиска <tex>T </tex> и <tex>f_u(v) </tex> будет <tex>f</tex>-значанием значением в соответствии с родителем u, т.е. <tex>f_u(v) = g(u) + c(u, v) + h(v)</tex>. Тогда <tex>\delta(u, v) </tex> может быть определена так:

<tex>\delta(u, v) = f_u(v) - f(v) = g(u) + c(u, v) + h(v) - g(v) - h(v) = g(u) + c(u, v) - g(v)</tex>

Заметим, что <tex>\delta(u, v) </tex> дает точную объездную метрику, поскольку функция оценки оценочное <tex>h</tex>-значения значение не появляется в определении функции <tex>\delta(u, v)</tex>.

== 4.3 Структура графе графа путей==Структура графа путей <tex>P(G) </tex> довольно сложная. В принципе, <tex>P(G) </tex> будет ориентированным графом, вершины которого соответствуют ребрам в исходном графе <tex>G</tex>. Он будет организован как коллекция взаимосвязанных '''куч ''' (англ. ''heap''). 2 бинарные минимальные кучи минимума присвоены к каждой вершине <tex>v </tex> в графе <tex>G</tex>, которые называются '''входящей кучей ''' (англ. ''incoming heap'')<tex>H_{in}(v) </tex> и '''деревянной кучей ''' (англ. ''tree heap'') <tex>H_{T}(v)</tex>. Эти кучи являются базисом <tex>P(G)</tex>. Как мы покажем далее, испльзование использование этих куч также играет главную роль в поддержании асимптотической сложности K*, также как в EA и LVEA.Входящая куча H_{in}(v) содержит узлы для каждого запасного ребра к вершине v, которые до сих пор были обнаружены A*. Узлы H_{in}(v) будут упорядочены в соответствии с \delta-значением соответствующих переходов. Узел владеющий ребром с минимальной стоимостью ущерба будет расположен на вершине кучи. Мы ограничим структуру кучи H_{in}(v) таким образом, что её корень в отличие от остальных узлов, имеет не более 1 ребенка. Мы обозначим его root_{in}(v).

Деревянная Входящая куча <tex>H_{Tin}(v) </tex> содержит узлы для произвольной вершины v строится следующим образом. Если каждого запасного ребра к вершине <tex>v - стартовая вершина</tex>, ткоторые до сих пор были обнаружены A*.е. v=s, то Узлы <tex>H_{Tin}(v) будет изначально пустой кучей. Затем узел </tex> будут упорядочены в неё будет добавлен root_{in}(s), если H_{in}(s) не пустаясоответствии с <tex>\delta</tex>-значением соответствующих переходов. Если v не стартовая вершина, то пусть вершина u Узел владеющий ребром с минимальной стоимостью ущерба будет родителем вершины v в дереве поиска Tрасположен на вершине кучи. Мы можем представить, что ограничим структуру кучи <tex>H_{Tin}(v) конструируется как копия H_{T}(u)</tex> таким образом, что её корень в которую добавлен root_{in}(v). Если H_{in}(v) пустая, то H_{T}(v) идентична H_{T}(u). Однако, для экономии памяти мы создаем только дешевую копию H_{T}(u). Это осуществляется через создание копий только отличие от остальных узлов кучи, которые лежат на обновленном пути H_{T}(u). Оставшаяся часть H_{T}(u) будет иметь не копируется. Другими словами, root_{in}(v) вставляется в H_{T}(u) неразрушающим путем так, что структура H_{T}(u) сохраняется. В куче H_{T}(v) более 1 или 2 ребенка могут быть присоединены к root_{in}(v). К тому же, Обозначим его <tex>root_{in}(v) хранит только 1 собственного ребенка из H_{in}(v). Мы обозначим корень H_{T}(v) как R(v)</tex>.

Обратимся '''Пример 4.''' Рисунок 4 иллюстрирует входящие кучи графа из рисунка 3. Цифры рядом с узлами кучи соответствуют <tex>\delta</tex>-значениям. [[Файл:kstar-figure-4.png|600px|thumb|center|'''Рисунок 4.''' Входящие кучи <tex>H_{in}(s_i)</tex>, полученные из графа, показанного на рисунке 3.]] Деревянная куча <tex>H_{T}(v)</tex> для произвольной вершины <tex>v</tex> строится следующим образом. Если <tex>v</tex> - стартовая вершина, т.е. <tex>v = s</tex>, то <tex>H_{T}(v)</tex> будет изначально пустой кучей. Затем в неё будет добавлен <tex>root_{in}(s)</tex>, если <tex>H_{in}(s)</tex> не пустая. Если <tex>v</tex> не стартовая вершина, то пусть вершина <tex>u</tex> будет родителем вершины <tex>v</tex> в дереве поиска <tex>T</tex>. Мы можем представить, что <tex>H_{T}(v)</tex> конструируется как копия <tex>H_{T}(u)</tex>, в которую добавлен <tex>root_{in}(v)</tex>. Если <tex>H_{in}(v)</tex> пустая, то <tex>H_{T}(v)</tex> идентична <tex>H_{T}(u)</tex>. Однако, для экономии памяти мы создаем только дешевую копию <tex>H_{T}(u)</tex>. Это осуществляется через создание копий только тех узлов кучи, которые лежат на обновленном пути в <tex>H_{T}(u)</tex>. Оставшаяся часть <tex>H_{T}(u)</tex> не копируется. Другими словами, <tex>root_{in}(v)</tex> вставляется в <tex>H_{T}(u)</tex> неразрушающим путем так, что структура <tex>H_{T}(u)</tex> сохраняется. В куче <tex>H_{T}(v)</tex> к ребрам<tex>root_{in}(v)</tex> могут быть присоединены 1 или 2 ребенка. К тому же, <tex>root_{in}(v)</tex> хранит только 1 собственного ребенка из <tex>H_{in}(v)</tex>. Мы обозначим корень <tex>H_{T}(v)</tex> как <tex>R(v)</tex>. [[Файл:kstar-figure-5.png|600px|thumb|center|'''Рисунок 5.''' Деревянные кучи <tex>H_{T}(s_i)</tex>, полученные из графа, показанного на рисунке 3.]] Назовем ребра, которые берут начало из входящих или деревянных куч, как к кучным ребрам'''кучными ребрами''' (англ. ''heap edges''). Сформулируем следующую лемму.{{Лемма |about=1. |statement=Все узлы, которые достижимы достижимые из <tex>R(v) через кучные ребра </tex> по кучным ребрам, для каждой вершины <tex>v, </tex> формируют тернарную кучу, упорядоченную в соответствии с <tex>\delta</tex>-значением. Мы назовем такую кучу '''графовой кучей ''' (англ. ''graph heap'') вершины <tex>v </tex> и обозначим его её как <tex>H_{G}(v)</tex>.|proof=Те узлы, которые находятся в <tex>H_{T}(v)</tex> или во входящей куче, на которую ссылается узел из <tex>H_{T}(v)</tex>, достижимы по кучным ребрам из <tex>R(v)</tex>. Деревянная куча <tex>H_{T}(v)</tex> формируется через добавление корней входящих куч всех вершин, лежащих на пути из стартовой вершины <tex>s</tex> до <tex>v</tex> в бинарной куче. Каждый из этих корней имеет максимум 3 детей: до 2 в <tex>H_{T}(v)</tex> и дополнительно единственного из входящей кучи. Любой другой узел, живущий во входящей куче имеет не больше 2 детей. Напомним, что каждая входящая куча - это бинарная куча с ограничением, что корень имеет единственного ребенка. Древовидная структура <tex>H_{G}(v)</tex> непосредственный результат древовидных структур <tex>H_{T}(v)</tex> и входящих куч. Более того, кучная характеристика деревянной кучи обеспечивает упорядочивание в соответствии с <tex>\delta</tex>-значением по ребрам из <tex>H_{T}(v)</tex>, а кучная характеристика входящих куч - по всем ребрам из <tex>H_{in}</tex>. Все это приводит к тому, что <tex>H_{G}(v)</tex> - тернарная куча, упорядоченная в соответствии с <tex>\delta</tex>-значением.}} Финальная структура <tex>P(G)</tex> получется из входящих и деревянных куч следующим образом. К каждому узлу <tex>n</tex> из <tex>P(G)</tex>, несущему ребро <tex>(u,v)</tex>, мы присоединим указатель, ссылающийся на <tex>R(u)</tex>, который является корневым узлом <tex>H_{T}(u)</tex>. Мы назовем такие указатели '''кросс-ребрами''' (англ. ''cross edges''), в то время как указатели, возникающие из куч названы кучными ребрами, как упоминалось раньше. Более того, мы добавим специальный узел <tex>\mathrm{R}</tex> в <tex>P(G)</tex> с одним выходящим кросс-ребром к <tex>R(t)</tex>. Более того, мы определим весовую функцию <tex>\Delta</tex> на ребрах из <tex>P(G)</tex>. Пусть <tex>(n,n')</tex> обозначает ребро в <tex>P(G)</tex>, и пусть <tex>e</tex> и <tex>e'</tex> обозначают ребра из <tex>G</tex>, соответствующие узлам <tex>n</tex> и <tex>n'</tex>. Тогда определим <tex>\Delta(n,n')</tex> следующим образом:  <tex> \Delta(n,n')=\begin{cases} \delta(e') - \delta(e),& \text{if}\ (n,n')\ \text{heap edge} \\ \delta(e'),& \text{if}\ (n,n')\ \text{cross edge}. \end{cases} </tex> Лемма 1 подразумевает, что куча упорядоченная в соответствии с <tex>\delta</tex>-значанием поддерживается для любого кучного ребра из <tex>P(G)</tex>. Эта упорядочивание кучи подразумевает, что <tex>\Delta(n,n')</tex> неотрицательна для любого кучного ребра <tex>(n,n')</tex>. Следовательно, <tex>\Delta</tex> также неотрицательна, т.е. <tex>\Delta(n,n') >= 0</tex> для любого ребра <tex>(n,n')</tex> в <tex>P(G)</tex>. Стоимость пути <tex>\sigma</tex>, т.е. <tex>C_{P(G)}(\sigma)</tex> равна <tex>\sum_{e \in \sigma}\Delta(e)</tex>.  '''Пример 6.''' В оставшейся части этого раздела мы проиллюстрируем особенности структуры графа путей, которые актуальны для нахождения кратчайших путей <tex>s-t</tex>.  Первое наблюдение в том, что <tex>P(G)</tex> ориентированный взвешенный граф. Каждый узел в <tex>P(G)</tex> несет запасное ребро из G. Использование бинарных куч в конструкции <tex>P(G)</tex> извлекает выгоду из следующих 2 свойств. Во-первых, произвольный узел в <tex>P(G)</tex> имеет не более 4 выходящих ребер. Одним из ребер будет точно кросс-ребро в то время, как оставшимися будут кучные ребра. Во-вторых, функция веса <tex>\Delta</tex> неотрицательна. Как станет ясно в разделе 5, эти свойства необходимы для доказательства правильности и определения сложности K*. Второе наблюдение заключается в существовании соответствия один-к-одному между путей <tex>s-t</tex> в <tex>G</tex> и путей в <tex>Р(G)</tex>, которые начинаются в <tex>\mathrm{R}</tex>.

Финальная структура P{{Лемма|about=2|statement=Пусть <tex>n</tex> будет узлом графовой кучи <tex>H_{G}(w)</tex> для какой-нибудь вершины <tex>w</tex>. Пусть <tex>(Gu,v) получется </tex> будет ребром связанным с <tex>n</tex>. Тогда существует путь в дереве поиска <tex>T</tex> из входящих <tex>v</tex> в <tex>w</tex>.|proof=...}} == 4.4 Алгоритмическая структура K* ==Алгоритмический принцип K* следующий. Будем запускать алгоритмы Дейкстры и деревянных куч следующим образомA* на <tex>G</tex> с чередованием. К каждому узлу n Сначала, мы выполним A* на <tex>G</tex>, который будет работать до тех, пока вершина <tex>t</tex> не будет выбрана из очереди для раскрытия. Затем, вы запустим алгоритм Дейкстры на доступной части <tex>P(G)</tex>. Каждый узел раскрытый Дейкстрой представляет путь. Если точнее, несущему ребро то путь <tex>\sigma</tex> в <tex>P(uG)</tex>,vпо которому Дейкстра достигла этого узла является решением. Путь <tex>s-t</tex> может быть построен из <tex>\sigma</tex> за линейное время путем вычисления последовательности запасных ребер <tex>seq(\sigma)</tex> и затем <tex>s-t</tex> пути из неё. Если Дейкстра находит <tex>k</tex> кратчайших путей, мы присоединим указательто K* завершается успешно. Иначе, A* возобновляется для исследования большей части <tex>G</tex>. Это приводит к росту <tex>P(G)</tex>, ссылающийся на котором алгоритм Дейкстры затем будет возобновлен. Мы будем повторять этот процесс до тех пор, пока алгоритм Дейкстры не найдет <tex>k</tex> кратчайших путей.  Data: A graph given by its start vertex s ∈ V and its successor function succ and anatural number kResult: A list Rcontaining k sidetrack edge sequences representing k solution paths  1 <tex>open_D</tex> ← пустая приоритетная очередь 2 <tex>closed_D</tex> ← пустая хеш-таблица 3 <tex>R</tex> ← пустой список 4 <tex>P(G)</tex> ← пустой граф путей 5 Выполняем A* на графе <tex>G</tex> пока <tex>t</tex> не будет выбрана для раскрытия 6 Если вершина <tex>t</tex> не была достигнута, то выходим без ответа 7 Кладем <tex>\mathrm{R}</tex> в очередь <tex>open_D</tex> 8 '''while''' A queue or open D is not empty: 9 '''if''' A queue is not empty: 10 '''if''' очередь <tex>open_D</tex> не пуста: 11 Let ube the head of the search queue of A ∗ and n the head of <tex>open_D</tex> 12 <tex>d = max\{ d(n)+ \Delta(n, который является корневым узлом H_{Tn') | n' \in succ(n) \}</tex> 13 '''if''' <tex>g(t) + d <= f</tex> (u)then переходим на строку 17. 14 Возобновляем A* для того, чтобы исследовать более большую часть графа <tex>G</tex> 15 Обновляем <tex>P(G)</tex> and bring Dijkstra’s search into a consistent status 16 Переходим на строку 8 17 '''if''' очередь <tex>open_D</tex> пуста: переходим на строку 8. Мы назовем такие указатели кросс 18 Remove from <tex>open_D</tex> and place on <tex>closed_D</tex> the node n with the minimal d-ребрамиvalue. 19 '''foreach''' <tex>n'</tex> referred by n in P(G): 20 <tex>d(n') = d(n) + \Delta(n, в то время как указатели, возникающие из куч названы кучными ребрами, как упоминалось раньшеn')</tex> 21 Attach to <tex>n'</tex> a parent link referring to <tex>n</tex>. Более того, мы добавим специальный узел R 22 Insert n 0 into <tex>open_D</tex> 23 Пусть <tex>\sigma</tex> будет путем в <tex>P(G) </tex>, через который узел n был достигнут. 24 Добавим <tex>seq(\sigma)</tex> в конец списка <tex>R</tex>. 25 '''if''' <tex>|R| = k</tex>: переходим на строку 26. 26 Return R and exit. Алгоритм 1 содержит псевдокод K*. Код с одним выходящим кросс8 по 25 строчку образует главный цикл K*. Цикл завершается, когда очереди обоих алгоритмов А* и Дейкстры пусты. До 8 строчки выполняет некоторые подготовительные вещи. После инициализации, А* запускает на 5 строчке пока вершина <tex>t</tex> не будет выбрана им для рассмотрения, в этом случае кратчайший путь <tex>s-ребром к t</tex> будет найден. Если <tex>t</tex> не достигнута, то алгоритм завершается без ответа. Отметим, что он не завершится на бесконечных графах. Иначе, алгоритм добавляет специальную вершину <tex>R</tex>, которая назначена корнем <tex>P(tG)</tex>, в поисковую очередь алгоритма Дейкстры. Затем, K* входит в главный цикл.

Более K* поддерживает механизм планирования для контролирования, когда A* или Дейкстра будет возобновлены. Если очередь из A* не пуста, что означает, что А* ещё не завершил исследования всего графа G, то Дейкстра возобновляется тогда и только тогда, когда <tex>g(t) + d <= f(u)</tex>. Значение <tex>d</tex> является максимальным <tex>d</tex>-значением среди всех successor-ов головы поисковой очереди <tex>n</tex> алгоритма Дейкстры. Вершина <tex>u</tex> является головой поисковой очереди A*. Напомним, что <tex>d</tex> - функция расстояния, используемая в алгоритме Дейкстры. Если очередь поиска Дейкстры пуста или <tex>g(t) + d > f(u)</tex>, то А* возобновляется для того, чтобы исследовать более большую часть графа <tex>G</tex> (строка 14). То, как долго мы определим весовую функцию \Delta ему позволим работать, является компромиссом. Если мы запустим его только на ребрах из маленьком количестве шагов, то мы дадим Дейкстре шанс найти необходимое количество путей скорее, чем они будут доступны в <tex>P(G)</tex>. Пусть С другой стороны, мы вызываем накладные расходы путем переключения A* и Дейкстры и поэтому должны ограничить количество переключений. Эти накладные расходы вызваны тем фактом, что после возобновления A* (nстрока 14), n'структура графа <tex>P(G)</tex> может измениться. Следовательно нам необходимо обновить <tex>P(G)</tex> (строка 15) обозначает ребро , как мы будет широко обсуждать в разделе 4.5. Это требует последующую проверку статуса Дейкстры. Мы должны быть уверены, что Дейкстра поддерживает согласованное состояние после изменений в <tex>P(G)</tex>. K* предусматривает условие, которые управляет решением, когда остановить A*, которое мы назовем ''условие расширения''. Для того, чтобы поддерживать аналогичную асимптотическую сложность как у EA и пусть e LVEA, мы должны определить условие расширения так, чтобы A* выполнялся пока количество рассмотренных вершин и e' обозначают ребра из количество внутренних ребер удваивается или <tex>G</tex> полностью исследован. Мы обсудим эту проблему несколько подробнее позже. В качестве полезного свойства, K* позволяет другое определения этого условия, которое может быть более эффективным на практике. В наших экспериментах в разделе 6, мы определили условие расширения так, что количество рассмотренных вершин или количество рассмотренных ребер ребер возрастает на 20% при каждом запуске A*. Этот механизм планирования включен до тех пор, пока A* не закончит исследовать весь граф <tex>G соответствующие узлам n и n'</tex>. Тогда определим \DeltaКак только A* исследует весь граф <tex>G</tex> (nстрока 9),n') следующим образом:механизм планирования отключается и в дальнейшем работает только алгоритм Дейкстры.

\Delta(nСтроки 18-22 представляют обычный шаг рассмотрения узла алгоритмом Дейкстры. Отметим,что когда successor-узел <tex>n')=\delta(e') - \delta(e) если (n</tex> сгенерирован,K* не проверяет был ли <tex>n') кучное </tex> уже посещен до этого. Другими словами, каждый раз, когда узел генерируется, он рассматривает как новый. Эта стратегия обоснована на наблюдении, что путь s-t может содержать одно и то же ребронесколько раз. Строка 24 добавляет следующий путь <tex>s-t</tex> в результирующее множество R. Это делается путем конструирования последовательности запасных ребер <tex>seq(\Delta(n,n'sigma)=</tex> из пути <tex>\delta(e') если (sigma</tex>, через которые Дейкстра достигла узла <tex>n</tex>, который был только что рассмотрен. Алгоритм завершается,n'когда в результирующее множество добавлено <tex>k</tex> последовательностей запасных ребер (строка 25) кросс-ребро.

Лемма 1 подразумевает== 4.5 Взаимосвязь алгоритмов Дейкстры и A* ==Тот факт, что куча упорядоченная оба алгоритма A* и Дейкстры делят между собой граф путей <tex>P(G)</tex>, вызывает обеспокоенность в отношении правильности работы Дейкстры на <tex>P(G)</tex>. Возобновление A* приводит к изменениям в соответствии с \delta-значанием поддерживается по любому кучному ребру из структуре <tex>P(G)</tex>. Эта упорядочивание кучи подразумеваетТаким образом, после возобновления A*, что \Deltaмы обновляем <tex>P(n,n'G) неотрицательна для любого кучного ребра </tex> и проверяет статус поиска Дейкстры (n,n'строка 15). СледовательноВ основном, A* может добавить новые узлы, менять <tex>\Delta delta</tex>-значения существующих узлов или даже удалять узлы. A* может также неотрицательнасущественно изменять дерево поиска <tex>T</tex>, ткоторое будет в худшем случае разрушать структуру все деревянных куч <tex>H_{T}</tex>.е. \Delta(n,n') Эти изменения могут приводить к глобальной реструктуризации или даже перестроению <tex>= 0 для любого ребра (n,n') в P(G)</tex> с нуля. Стоимость пути \sigma, т.е. C_{В худшем случае это может сделать предыдущие поиски Дейкстры на <tex>P(G)}(\sigma) равна \sum_{e \in \sigma}\Delta(e)</tex> бесполезными таким образом, что нам придется перезапускать алгоритм Дейкстры с нуля.

Если использованная эвристическая оценка допустимая, то наше положение лучше.Нам по-прежнему может понадобится перестроение <tex>P(G)</tex>, но мы покажем, что это перестроение не мешает корректности поиска Дейкстры на <tex>P(G)</tex>.Другими словами, мы не теряем результаты, до сих пор полученные поиском Дейкстры. В случае монотонной эвристической оценки мы даже не нуждаемся в восстановлении или перестроении <tex>P(G)</tex>. Если <tex>h</tex> монотонная, то дерево поиска A* является деревом кратчайшего пути для всех раскрытых вершин. Следовательно, g-значения раскрытых вершин не меняются. Это означает, что <tex>\delta</tex>-значения для внутренних ребер никогда не изменятся. Ребра дерева раскрытых вершин не изменятся также. Следовательно, обновление <tex>\delta</tex>-значений, heaping-up, heaping-down (операции в кучах) или удаление узлов не влекут за собой каких-либо изменений в <tex>P(G)</tex>. Только добавление новых узлов приводит к изменениям в <tex>P(G)</tex>. Следовательно, восстановление или глобальное перестроение не требуется в данном случае. В оставшейся части этого раздела, мы сначала покажем, что корректность поиска Дейкстры на <tex>P(G)</tex> поддерживается в случае допустимой эвристической оценки. После этого мы покажем, что изменения в <tex>P(G)</tex> могут помешать завершенности поиска Дейкстры независимо от того, является ли эвристика допустимой или даже монотонной. Следовательно, мы предложим механизм для её поддержания. Мы фокусируемся дальше на корректности поиска Дейкстры на <tex>P(G)</tex> в случае допустимой эвристической оценки. Сначала, мы заявляем, что если <tex>h</tex> допустимая, то узлы исследованной части <tex>P(G)</tex> не поменяют свои <tex>\delta</tex>-значения. {{Лемма|about=6|statement=Пусть <tex>n</tex> будет произвольным узлов в <tex>P(G)</tex> и пусть <tex>(u,v)</tex> будет ребром, связанным с <tex>n</tex>. Если <tex>h</tex> допустимая функция, то значение <tex>\delta(u, v)</tex> никогда не изменится после того, как <tex>n</tex> будет рассмотрен алгоритмом Дейкстры.|proof=...}} Из леммы 6 мы может вывести следующее следствие. {{Лемма|about=следствие 3|statement=Пусть <tex>n</tex> будет произвольным узлом в <tex>P(G)</tex>. Если <tex>h</tex> допустимая функция, то <tex>n</tex> никогда не будет удален из <tex>P(G)</tex> после того, как <tex>n</tex> был рассмотрен алгоритмом Дейкстры.|proof=...}} Более того, мы докажем, что структура исследованной части <tex>P(G)</tex> не изменится. {{Лемма|about=7|statement=Пусть <tex>n</tex> будет произвольным узлов в <tex>P(G)</tex>. Если <tex>h</tex> допустимая функция, то <tex>n</tex> никогда не изменит свою позицию после того, как он был рассмотрен алгоритмом Дейкстры.|proof=...}}  Леммы 6 и 7 обеспечивают, что изменения в <tex>P(G)</tex>, которые индуцируются A*, не влияют на часть <tex>P(G)</tex>, которую алгоритм Дейкстры уже исследовал. Это гарантирует корректность поиска Дейкстры на <tex>P(G)</tex>, если используемая эвристика допустимая. Таким образом, каждый путь, который предоставляет алгоритм Дейкстры корректен и его длина действительна. Однако, это не обеспечивает завершенность поиска Дейкстры на <tex>P(G)</tex>. Возможно, что узел <tex>n'</tex> присоединяется к другом узлу n как ребенок, после раскрытия узла <tex>n</tex>. В этом случае братья <tex>n'</tex> будут рассотрены до того, как <tex>n'</tex> станет ребенком n. Поэтому мы должны рассмотреть то, что было упущено во время поиска в связи с отсутствием <tex>n'</tex>. Мы добиваемся этого путем применения строк 20-22 к <tex>n'</tex> для каждого раскрытого направленного predecessor-а узла <tex>n'</tex>. Если <tex>n'</tex> ещё не выполняет условие планирования, A* будет неоднократно возобновляться пока механизм планирования не допустит алгоритму Дейкстры положить <tex>n'</tex> в поисковую очередь. Заметим, что таким образом не требуется каких-либо дополнительных усилий во время типичного поиска Дейкстры. Мы может быть уверены, что нерассмотренные узлы не будут принудительно опущены после применения операции heaping-up к <tex>n'</tex>. Иначе, мы могли бы иметь узел <tex>n''</tex>, который являлся бы ребенком n и впоследствии был бы заменен узлом <tex>n'</tex>. Заметим, что <tex>n''</tex> должен быть рассмотрен, поскольку <tex>n'</tex> был раскрыт. Однако, это противоречение к лемме 7, которая гарантирует, что этого не произойдет. Более того, следующее следствие гарантирует, что наилучшее <tex>d(n')</tex> не лучше, чем <tex>d</tex>-значение любой рассмотренной вершины, в частности, раскрытой вершины. Это означает, что мы не упустим возможность раскрыть <tex>n'</tex>. {{Лемма|about=следствие 3|statement=Пусть <tex>n</tex> будет узлом в <tex>P(G)</tex>, который был раскрыт Дейкстрой. Кроме того, пусть <tex>m</tex> будет узлом, который заново добавляется в <tex>P(G)</tex> или его позиция изменена, после того как <tex>n</tex> был раскрыт. Если <tex>h</tex> допустимая, тогда выполяется следующее:<tex>C_{P(G)}(R,m) >= d(n)</tex>|proof=...}}

Лемма 2== 4. Пусть n 6 Пример ==Мы проиллюстрируем работу алгоритма K* следующим примером. Мы будем рассматривать ориентированный взвешанный граф G на рисунке 7. Стартовой вершиной будет узлов графовой кучи H_{называться <tex>s_0</tex> и конечной вершиной - <tex>s_6</tex>. Нас интересует поиск 9 лучших путей из <tex>s_0</tex> в <tex>s_6</tex>. Для достижения этой цели мы применим алгоритм K* к <tex>G}</tex>. Предположим, что эвристическая оценка существует. Значения эвристики даны в пометках c <tex>h(ws_0) для какой-нибудь вершины w. Пусть </tex> по <tex>h(u,vs_6) будет ребром связанным с n</tex> на рисунке 7. Тогда существует путь в дереве поиска T из v в wЛегко заметить, что эвристическая функция допустима.

Первый раз A* делает итерации на графе <tex>G</tex> до тех пор, пока не будет найдена вершина <tex>s_6</tex>.Часть графа <tex>G</tex>, которая уже была рассмотрена иллиюстрируется на рисунке 8.Ребра, изображенные сплошными линиями, обозначают ребра дерева, в то время, как все остальные - запасные ребра. Они будет храниться в кучах <tex>H_{in}</tex>, показанных на рисунке 9. Номера, присвоенные узлах кучи, соответствуют <tex>\delta</tex>-значениям. На этом этапе поиска A* приостановлен и <tex>P(G)</tex> построен. Первоначально, только назначенный корень <tex>R</tex> явно доступен в <tex>P(G)</tex>. Инициализируется алгоритм Дейкстры. Это означает, что узел <tex>R</tex> добавляется в поискую очередь Дейкстры. Планировщику требуется доступ к successors К для того, чтобы решить следует ли возобновлять Дейкстру или A*. На данном этапе должна быть построена деревянная куча <tex>H_{T}(s_6)</tex>. Куча <tex>H_{T}(s_4)</tex> требуется для построения <tex>H_{T}(s_6)</tex>. Следовательно, строются деревянные кучи <tex>H_{T}(s_6)</tex>, <tex>H_{T}(s_4)</tex>, <tex>H_{T}(s_2)</tex> и <tex>H_{T}(s_0)</tex>. Результат показан на рисунке 10, где сплошные линии представляют кучные ребра и пунктирные линии показывают кросс-ребра. Во избежание путаницы на рисунке некоторые из ребер не полностью изображены. Мы указываем каждое из них, используя короткую стрелку с конретной целью.

4.4 Алгоритмическая структура K*Алгоритмический принцип K* следующий. Будем запускать алгоритмы Дейкстры и A* на G с чередованием. СначалаПосле построения, мы запустим A* на G пока вершина t не будет выбрана из очереди для рассмотрения. Затемкак показано 10, вы запустим алгоритмы Дейкстры на доступной части Pпланировщик проверяет только ребенка <tex>(G). Каждый узел рассмотрел Дейкстрой представляет путь решения. Если точнееs_4, то путь \sigma в P(Gs_2), по которому Дейкстра достигла этого </tex> узла является решением. Путь s-t может быть построен из \sigma за линейное время путем вычисления последовательности запасных ребер seq(\sigma) и затем s-t пути из неё. Если Дейкстра находит k кратчайших путей, то K* завершается успешно. Иначе, A* возобновляется для исследования большей части G. Это приводит к росту P(G), <tex>R</tex> на котором алгоритм Дейкстры затем будет возобновлен. Мы будем повторять этот процесс до тех пор, пока алгоритм Дейкстры не найдет k кратчайших путей. Алгоритм 1 содержит псевдокод K*. Код с 8 по 25 строчку образует главный цикл K*. Цикл завершается, когда очереди обоих алгоритмов А* и Дейкстры пусты. До 8 строчки выполняет некоторые подготовительные вещи. После инициализации, А* запускает на 5 строчке пока вершина t не будет выбрана им для рассмотрения, в этом случае кратчайший путь s-t будет найден. Если t не достигнута, то алгоритм завершается без решения. Отметимпредмет того, что он не завершится на бесконечных графах. Иначе, алгоритм добавляет специальную вершину R, которая назначена корнем P(G), в поисковую очередь алгоритма Дейкстры. Затем, K* входит в главный цикл.K* поддерживает механизм планирования для контролирования, когда A* или Дейкстра будет возобновлены. Если очередь из A* не пуста, что означает, что А* ещё не завершил исследования всего графа G, то Дейкстра возобновляется тогда и только тогда, когда <tex>g(ts_6) + d (s_4,s_2) <= f(us_1)</tex>. Значение d является максимальным d-значением среди всех successor-ов головы поисковой очереди n алгоритма Дейкстры. Вершина u Отметим, что <tex>s_1</tex> является головой поисковой очереди A*. НапомнимЗначение <tex>d(s_4, что d - функция расстоянияs_2)</tex> равно 2, используемая в алгоритме Дейкстрыт.е. Если очередь поиска Дейкстры пуста или <tex>g(ts_6) + d > f(us_4,s_2), то А* возобновляется для того, чтобы исследовать более большую часть графа G = 7 + 2 = 9 = f(строка 14s_1)</tex>. ТоСледовательно, как долго мы ему позволим работать, является компромиссом. Если мы запустим его только на маленьком количестве шагов, то мы дадим планировщик позволяет Дейкстре шанс найти необходимое количество путей скорее, чем они будут доступны в P(G). С другой стороны, мы вызываем накладные расходы путем переключения A* раскрыть <tex>R</tex> и Дейкстры и поэтому должны ограничить количество переключений. Эти накладные расходы вызваны тем фактом, что после возобновления A* вставить <tex>(строка 14)s_4, структура графа P(Gs_2) может измениться. Следовательно нам необходимо обновить P(G) (строка 15), как мы будет широко обсуждать </tex> в разделе 4поисковую очередь.5При раскрытии <tex>R</tex> находится первый путь из ответа. Это требует последующую проверку статуса Дейкстры. Мы должны быть уверены, что Дейкстра поддерживает согласованное состояние после изменений в Он строится из пути <tex>P(G). K* предусматривает условие</tex>, которые управляет решением, когда остановить A*, которое мы назовем ''условие расширения''содержащего единственный узел <tex>R</tex>. Для того, чтобы поддерживать аналогичную асимптотическую сложность как у EA и LVEA, мы должны определить условие расширения так, чтобы A* выполнялся пока количество рассмотренных вершин и количество внутренних Этот путь приводит к пустой последовательности запасных ребер удваивается или G полностью исследован. Мы обсудим эту проблему несколько подробнее позже. В качестве полезного свойства, K* позволяет другое определения этого условия, которое может быть более эффективным на практике. В наших экспериментах в разделе 6, мы определили условие расширения такНапомним, что количество рассмотренных вершин или количество рассмотренных пустая последовательность запасных ребер ребер возрастает на 20% при каждом запуске A*. Этот механизм планирования включен до тех порсоответствует пути из <tex>s_0</tex> в <tex>s_6</tex> в дереве поиска, пока A* не закончит исследовать весь граф Gа именно <tex>s_0s_2s_4s_6</tex> длиной 7. Как только A* исследует весь граф G (строка 9), механизм планирования отключается и в дальнейшем работает только алгоритм Дейкстры.Строки 18-22 представляют обычный шаг рассмотрения узла алгоритмом Затем поиск Дейкстры. Отметимприостанавливается, потому что когда для successor-узел n' сгенерированов узла <tex>(s_4, K* s_2)</tex> не проверяет был ли выполняется условие <tex>g(s_6)+d(n' уже посещен до этого. Другими словами, каждый раз, когда узел генерируется, он рассматривает как новый. Эта стратегия обоснована на наблюдении, что путь s-t может содержать одно и то же ребро несколько раз. Строка 24 добавляет следующий путь s-t в результирующее множество R. Это делается путем конструирования последовательности запасных ребер seq)<=f(\sigmas_1) из пути \sigma, через которые Дейкстра достигла узла n, который был только что рассмотрен</tex>. Алгоритм завершаетсяСледовательно, когда в результирующее множество добавлено k последовательностей запасных ребер (строка 25)возобновляется A*.

4Мы предполагаем, что условие раскрытия определено как раскрытие одной вершины для того, чтобы пример был простым и иллюстративным.5 Взаимосвязь алгоритмов Дейкстры и Поэтому A*раскрывает <tex>s_1</tex> и останавливается. Исследованная часть <tex>G</tex> на текущем этапе показана на рисунке 11. Результат раскрытия приведет к обнаружению 2 новых запасных ребер <tex>(s_1,s_2)</tex> и <tex>(s_1,s_6)</tex>, которые будут добавлены в <tex>H_{in}(s_2)</tex> и <tex>H_{in}(s_6)</tex> соответственно. Обновленные кучи <tex>H_{in}(s_2)</tex> и <tex>H_{in}(s_6)</tex> представлены на рисунке 12. Другие кучи остаются неизменными, как на рисунке 9. Граф путей <tex>P(G)</tex> перестаивается, как показано на рисунке 13. Затем алгоритм Дейкстры возобновляется. Заметим, что поисковая очередь Дейкстры содержит только <tex>(s_4,s_2)</tex> с <tex>d = 2</tex> на этом моменте. Используя ручное выполнение мы можем легко увидеть, что Дейкстра будет выдавать в ответ пути, перечисленные в таблице 1.