Изменения
Нет описания правки
<tex>\ln x</tex> выпукла вверх.
Рассмотрим <tex>\alpha_k: \forall \alpha_k \geq 0</tex>, <tex>\sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k = 1</tex> и набор <tex>\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}</tex>.
Применим неравенство Йенсена <tex>\sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k\ln x_k \leq \ln \sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k x_k</tex>. Потенциируем.
<tex>e^{\sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k \ln x_k} \leq e^{\ln \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k x_k}</tex>
<tex>\prod\limits_{k = 1}^n x_k^{\alpha_k} \leq \sum\limits_{k = 1}^n \alpha_k x_k</tex>
(неравенство между обобщенным средним геометрическим и средним арифметическим).
<tex>\sqrt[n]{x_1 x_2 \prodcdot \limits_{k = 1}^n x_kldots \cdot x_n} \leq \frac1n frac{x_1 + x_2 + \sum\limits_{k = 1ldots + x_n}^n x_k</tex>
Пусть теперь <tex>n = 2</tex>. Тогда
{{Определение | definition =
Числа <tex>p</tex> и <tex>q</tex> такоеназываются сопряженными показателями, что если <tex>\frac1p + \frac1q = 1</tex> называется сопряжённым показателем к <tex>p</tex>.
}}
Гёльдера
|statement=
Пусть <tex>a_1; , a_2 \ldots a_n > 0</tex>, <tex>b_1; , b_2 \ldots b_n > 0</tex>, <tex>p > 1</tex>, <tex>\frac1p + \frac1q = 1</tex>
Тогда
<tex>
\sum\limits_{k=1}^n a_k b_k \leq
\left(\sum\limits_{k = 1}^n a_k^p \right)^{1/p} +
\left(\sum\limits_{k = 1}^n b_k^q \right)^{1/q}
</tex>
|proof=
Обозначим <tex>A = \left( \sum\limits_{k = 1}^n a_k ^p \right)^{1/p}</tex>, <tex>B = \left( \sum\limits_{k = 1}^n b_k ^q \right)^{1/q}</tex>
По неравенству Юнга
<tex>
\sum\limits_{k = 1}^n \frac{a_k}{A} \cdot \frac{b_k}{B} \leq
\frac1p \sum\limits_{k = 1}^n \left(\frac{a_k}A\right)^p + \frac1q \sum\limits_{k = 1}^n \left(\frac{b_k}B\right)^q = </tex><tex>\frac1p \frac1{A^p} \sum\limits_{k = 1}^n a_k^p + \frac1q \frac1{B^q} \sum\limits_{k = 1}^n b_k^q =
\frac1p \frac1{A^p} A^p + \frac1q \frac1{B^q} B^q =
1
=== Следствие ===
<tex>
\sum\limits_{k = 1}^n a_k b_k \leq \sqrt{\sum\limits_{k = 1}^n a_k^2} + \sqrt{\sum\limits_{k = 1}^n b_k^2}
</tex>
== Теорема Минковского ==
Так как <tex>p > 1</tex>, положим <tex>q = \frac{p}{p - 1}</tex>. Применяем к
<tex>\sum\limits_{k = 1}^n a_k (a_k + b_k)^{p - 1}</tex> неравенство ГольдераГёльдера:
<tex>
\sum\limits_{k = 1}^n a_k(a_k + b_k)^{p - 1} \leq
\left(\sum\limits_{k = 1}^n a_k^p \right)^{1/p} \cdot \left(\sum\limits_{k = 1}^n (a_k + b_k)^{(p/-1)q\,=\,p}\right)^{1/q}
</tex>
Используем аналогичное неравенство для <tex>\sum\limits_{k = 1}^n b_k(a_k + b_k)^{p - 1}</tex> :
<tex>
</tex>
<tex>
