Изменения
→Задача Коши
|statement=Пусть <tex>f(x,y)</tex> удовлетворяет условию Липшица и <tex>f(x,y) \in C(D)</tex>, тогда существует единственное решение задачи Коши
<tex>y=y(x), \:\: y \in C(\left | x-x_{0} \right | \leqslant h)</tex>, где <tex>h = min(a, \frac{b}{M})</tex>.
|proof=Мамой клянусь. А теперь попытаемся доказать. <br>Переформулируем задачу Коши следующим образом: <tex>y(x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x}f(\bar{x},y)d\bar{x}</tex><br>
Будем строить решение задачи Коши итеративным методом: <tex>y_{n}(x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x}f(\bar{x},y_{n-1}(\bar{x}))d\bar{x}</tex>. Далее возможны два случая:<br> 1) <tex>y_{n}(x) \equiv y_{0} \:\: \Rightarrow \:\: f(x, y_{0}) = 0 \:\: \Rightarrow \:\: y_{0} -</tex> решение.<br>
2) <tex>f(x, y_{0}) \neq 0:</tex> предварительно докажем, что:<br>
<tex>...</tex><br>
<tex>\left | y_{n} - y_{n - 1} \right | \leqslant \int_{x_{0}}^{x} \left | f(\bar{x}, y_{n - 1}) - f(\bar{x}, y_{n - 2})\right | d\bar{x} \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}\left | y_{n - 1} - y_{n - 2}\right |d\bar{x} \leqslant </tex> <tex> l \int_{x_{0}}^{x}\frac{M}{l} \frac{(l \left | \bar{x} - x_{0} \right |)^{n - 1}}{(n - 1)!}d\bar{x} = \frac{M}{l} \frac{(l\left | x - x_{0} \right |)^{n}}{n!} \leqslant \frac{M}{l} \frac{(lh)^{n}}{n!}</tex><br>
Теперь проверим сходимость полученного числового ряда: <tex> \frac{M}{l} (lh + \frac{(lh)^{2}}{2!} + \frac{(lh)^{3})}{3!} + \dotsb) = \frac{M}{l} (e^{lh} - 1).</tex> Видим, что числовой ряд сходистя, значит исходный функциональный ряд сходится равномерно.<br>d), e) Мамой клянусь.}}
