NP-полнота задачи о выполнимости булевой формулы в форме 3-КНФ

Задача [math]3SAT[/math]

[math]3SAT=3CNFSAT=\{\phi|\phi[/math] в 3-КНФ, [math]\phi \in SAT\}[/math]

Теорема

[math]3SAT \in NPC [/math]

Доказательство

Для того, чтобы доказать NP-полноту задачи, необходимо установить следующие факты:

1. [math] 3SAT \in NP [/math].
2. [math] 3SAT \in NPH [/math];

Доказательство принадлежности 3SAT классу NP

Возьмем в качестве сертификата набор [math]x_1 \ldots x_{n}[/math], где [math]x_i \in \{0,1\}[/math]. Верификатор подставляет [math]x_1 \ldots x_n[/math] в формулу и проверяет её на равенство единице. Время работы верификатора и длина сертификата, очевидно, полиномиальны. Итак, [math]3SAT \in NP[/math].

Доказательство принадлежности 3SAT классу NPH

Покажем, что [math]CNFSAT \le 3SAT[/math], то есть [math]CNFSAT[/math] сводится по Куку к [math]3SAT[/math].

Рассмотрим один дизъюнкт булевой формулы в форме 3-КНФ. Он должен иметь вид [math](x \vee y \vee z)[/math]. Научимся приводить члены вида [math](x)[/math], [math](x \vee y)[/math], [math](x_1 \vee x_{2} \vee \ldots \vee x_{m})[/math] к нужному виду.

• [math](x \vee y)[/math] заменим на [math](x \vee y \vee z) \wedge (x \vee y \vee \neg z)[/math]. Ясно, что последняя формула выполнима тогда и только тогда, когда выполнима исходная, при любых [math]z[/math];
• [math](x)[/math] заменим на [math](x \vee y) \wedge (x \vee \neg y)[/math] - свели задачу к предыдущей;
• Если встречается дизъюнкт вида [math](x_1 \ldots x_k), k \ge 3[/math], введем [math]k-3[/math] новых переменных и заменим наш дизъюнкт на [math]k-2[/math] дизъюнкта: [math](x_1 \vee x_2 \vee z_1) \wedge (x_3 \vee \neg z_1 \vee z_2) \wedge (x_4 \vee \neg z_2 \vee z_3) \wedge \ldots \wedge (x_{k-1} \vee x_k \vee \neg z_{k-3})[/math]. Покажем, что эта замена корректна.

Для этого, сделаем два утверждения:

Если [math](x_{1}^* \ldots x_{k}^*)[/math] - набор значений [math]x_i[/math], удовлетворяющий дизъюнкт [math](x_1 \vee \ldots \vee x_k)[/math], то существует такой набор значений [math]z_{1}^* \ldots z_{k-3}^*[/math], что каждый из [math]k-2[/math] новых дизъюнктов также удовлетворен.

Действительно, среди значений [math](x_{1}^* \ldots x_{k}^*)[/math] хотя бы одно должно равняться [math]true[/math]. Не умаляя общности, пусть для некоторого [math]r: 1 \le r \le k, x_r = true[/math]. Тогда, пусть [math]z_{s}^*=true[/math] для [math]s \le r-2[/math] и [math]z_{s}^*=false[/math] для [math]s \gt r - 2[/math]. Тогда, все новые дизъюнкты также будут удовлетворены.

Наоборот, пусть все новые дизъюнкты удовлетворяются некоторым набором значений [math]x_i[/math] и [math]z_i[/math]. Покажем, что тогда хотя бы один из [math]x_i[/math] должен равняться [math]true[/math].

Предположим, что это не так, и [math]x_i = false, i = 1..k[/math]. Тогда, первые [math]k-3[/math] дизъюнкта в [math]3SAT[/math] удовлетворены только если [math]z_i = true, i=1..k-3[/math]. Однако, если [math]z_{k-3}=true[/math], то последний дизъюнкт [math](x_{k-1} \vee x_k \vee \neg z_{k-3})[/math] не может быть удовлетворен. Пришли к противоречию, следовательно хотя бы один из [math]x_i[/math] должен равняться [math]true[/math].

Таким образом, мы свели [math]CNFSAT[/math] к [math]3SAT[/math], следовательно [math]3SAT \in NPH[/math]. Теорема доказана.