304
правки
Изменения
добавлена часть про модуль непрерывности функции
:<tex>\omega(\lambda t) \le \omega^* (\lambda t) \le (1 + \lambda) \omega(t)</tex>
|proof=
По св-ву свойству 2 имеем <tex>\omega(\lambda t) \le (1 + \lambda) \omega (t)</tex> для всех <tex>\lambda</tex> и <tex>t \geq 0</tex>. Обозначим <tex>u = \lambda t</tex>, тогда <tex>\lambda = \frac ut</tex>.
Перепишем равенство : <tex>\omega(u) \le (1 + \frac ut) \omega (t)</tex>. Определим теперь функцию <tex>\omega^*(u) = \inf\limits_{t > 0} (1 + \frac ut)\omega(t)</tex>.
#<tex>\omega^*</tex> не убывает. В самом деле, <tex>u_1 \leq u_2 \Rightarrow (1 + \frac{u_1}t)\omega(t) \leq (1 + \frac{u_2}t)\omega(t)</tex>. Переходя к инфимумам обеих частей последнего неравенства, получаем <tex>u_1 \leq u_2 \Rightarrow \omega^*(u_1) \leq \omega^*(u_2)</tex>.
Еще раз вспомним св-во свойство № 2 модулей непрерывности : <tex>\omega(u) \le (1 + \frac ut) \omega (t)</tex>. Рассматривая точные нижние грани обеих частей и используя определение ф-ции <tex>\omega^*(u)</tex>, получим требуемые в условии теоремы неравенства (объяснение того, как именно эти неравенства получаются, довольно тяжело описать словами, поэтому лучше его проделать самому - прим. наборщика).
Итак, построенная нами функция <tex>\omega^*(t)</tex> является модулем непрерывности, выпукла вверх и удовлетворяет указанным в условии теореме неравенствам.
}}
== Модуль непрерывности функции ==
Пусть <tex>f</tex> - функция, непрерывная на <tex>[a; b]</tex>. Пусть <tex>h \ge 0</tex>. Положим
:<tex>\omega(f, h) = \sup\limits_{|x'' - x'| \le h}|f(x'') - f(x')|</tex>.
Можно проверить, что представленная функция является модулем непрерывности. В силу построения такая функция называется модулем непрерывности функции <tex>f</tex>.
Рассмотрим множество выпуклых вверх модулей непрерывности, мажорирующих модуль непрерывности функции <tex>f</tex>:
:<tex>\omega^* \in \Omega^*: \omega(f, h) \le \omega^*(h) \ \forall h \ge 0</tex>.
Опеределим <tex>\omega^*(f, h) = \inf\limits_{\omega^* \in \Omega^*(f)}}\omega^*(h)</tex>, где <tex>\Omega^*(f)</tex> - класс выпуклых мажорант функции <tex>f</tex> (то есть, все те модули непрерывности, удовлетворяющие написанному выше неравенству). Очевидно, что мы получаем выпуклый вверх модуль непрерывности. Его принято называть выпуклым модулем непрерывности функции <tex>f</tex>.
По доказанной выше теореме получаем следующее следствие:
:<tex>\omega(f, \lambda h) \le \omega^* (f, \lambda h) \le (1 + \lambda) \ \omega(f, h) \ \forall\lambda, h \ge 0</tex>, а также:
:<tex>\omega(f, h) \le \omega^* (f, h) \le 2 \omega(f, h)</tex>
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
