Изменения
→Задача Коши для ДУ высших порядков
==Задача Коши для ДУ высших порядков==
{{Определение|definition= <tex>F(x, y, y', \dots, y^{(n)})\:\:(1) - </tex> ДУ порядка n}}
{{Определение|definition= Задача отыскания решения ДУ (1), удовлетворяющего услювию <tex>y(x_{0}) = y_{0}, y'(x_{0}) = y'_{0}, \:\dots\:, y^{(n - 1)}(x_{0}) = y_{0}^{(n - 1)}</tex>, где <tex>y_{0}, y'_{0}, \dots, y_{0}^{(n- 1)} \in \mathbb{R}</tex>}}
{{Теорема|author=Пикар|statement= Пусть ДУ разрешено относительно производной n-ного порядка т.е. <tex>y^{(n)}= f(x, y, y', \dots, y^{(n - 1)})</tex>, f - непрерывна в некоторой окрестности начальных условий V и <tex>\frac{\partial f}{\partial y^{(j)}} \in C(V)</tex><br> тогда существует единственное решение задачи Коши}} {{Определение|definition= Функция <tex>y = \phi(x, y, C_1, \dots , C_n)</tex> является общим решением, если:1) Система разрешима относительно производных т.е. <tex>\:\:\left\{\begin{matrix}y =\phi (x, C_1, \dots, C_n)\\y' =\phi' (x, C_1, \dots, C_n) \\\dots \\ y^{(n - 1)} =\phi^{(n - 1)} (x, C_1, \dots, C_n)\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}C_1 =\psi_1 (x, y', \dots, y^{(n - 1)})\\C_2 =\psi_2 (x, y', \dots, y^{(n - 1)})\\\dots \\ C_n =\psi_n (x, y', \dots, y^{(n - 1)})\end{matrix}\right.</tex><br>2)<tex>y = \phi(x, C_1, \dots, C_n)</tex> {{---}} решение уравнения (2) для любого набора констант <tex>C_1, \dots, C_n</tex>.}}
