Линейные уравнения высших порядков

Определение

Определение:

[math]y^{(n)} + p_1(x)y^{(n - 1)} + \dots + p_{n - 1}(x)y' + p_n(x)y = f(x)[/math] — называется линейным уравнением n-ного порядка.

Определение:

если [math]f(x)\equiv 0[/math] то уравнение называется однородным, иначе - неоднородным.

пусть [math]\alpha(y) = y^{(n)} + p_1(x)y^{(n - 1)} + \dots + p_{n - 1}(x)y' + p_n(x)y[/math], тогда уравнение имеет вид [math]\alpha(y) = f(x)[/math].
[math]\alpha(y)[/math] называется линейным дифференциальным оператором n-ного порядка. Очевидно, что [math]\alpha (\Sigma_{i = 0}^{n} C_ky_k) = \Sigma_{i = 0}^{n} C_k\alpha(y_k)[/math].