Изменения

Предположим <tex>(u, v) \in E_f</tex>, тогда <tex>\delta_f(s,v) \le leqslant \delta_f(s, u) + 1 \le leqslant \delta'_f(s,u) + 1 = \delta'_f(s, v)</tex>. Это противоречит <tex>\delta'_f(s,v) < \delta_f(s,v)</tex>.

Пусть <tex>(u,v) \notin E_f</tex>, но известно, что <tex>(u,v) \in E_f'</tex>. Появление ребра <tex>(u,v)</tex> после увеличения потока означает увеличение потока по обратному ребру <tex>(v, u)</tex>. Увеличение потока производится вдоль кратчайшего пути, поэтому кратчайший путь из <tex>s</tex> в <tex>u</tex> вдоль которого происходило увеличения выглядит как <tex>s \leadsto v \rightarrow u</tex>, из чего получаем <tex>\delta_f(s, v) = \delta_f(s, u) - 1 \le leqslant \delta'_f(s, u) - 1 = \delta'(s, v) - 2</tex>. Данное утверждение противоречит <tex>\delta'_f(s,v) < \delta_f(s,v)</tex>. Итак мы пришли к противоречию с существованием вершины <tex>v</tex>, кратчайшее расстояние до которой уменьшилось с увеличением потока.