42
правки
Изменения
м
Новая страница: «Лекция от 20 сентября 2010. =Определения= {{Определение |definition= Если <tex> A \subset \mathbb R, \, \exists b \in \math…»
Лекция от 20 сентября 2010.
=Определения=
{{Определение
|definition=
Если <tex> A \subset \mathbb R, \, \exists b \in \mathbb R : A \le b </tex>, то A называется '''ограниченным сверху''' множеством.
<tex> b </tex> называется '''верхней границей''' множества А.
Если <tex> A \subset \mathbb R, \, \exists c \in \mathbb R : A \ge c </tex>, то A называется '''ограниченным снизу''' множеством.
<tex> c </tex> называется '''нижней границей''' множества А.
Если <tex> A \subset \mathbb R, \, \exists b, c \in \mathbb R : c \le A \le b </tex>, то A называется '''ограниченным''' множеством.
}}
{{Определение
|definition=
Если <tex> A </tex> - ограничено сверху, то наимешьшая из его верхних границ называется '''верхней гранью'''.
<tex> b = sup \, A</tex> ("супремум")
}}
{{Определение
|definition=
Если <tex> A </tex> - ограничено снизу, то наибольшая из его нижних границ называется '''нижней гранью'''.
<tex> b = inf \, A</tex> ("инфиум")
}}
=Существование грани множества=
{{Теорема
|statement=
Если А ограничено сверху, то у него существует верхняя грань (Аналогично для А, ограниченного снизу).
|proof=
Пусть M - множество верхних границ А. Так как А ограничено сверху, то <tex> M \ne \varnothing </tex>.
По определению верхней границы: <tex> A \le M </tex>.
По аксиоме непрерывности:
<tex> \exists d \in \mathbb R: \, A \le d \le M </tex>:
#<tex> A \le d \Rightarrow d \in M </tex>.
#<tex> d \le M \Rightarrow d </tex> - наименьшая из верхних границ А.
Получили, что d - верхняя граница А, и d не больше всех верхних границ А, <tex> d = sup \, A </tex>.
Аналогично для нижней грани ограниченного снизу множества А.
}}
=Принцип вложенных отрезков=
{{Определение
|definition=
Множество <tex> (a, b) = \{ x: a < x < b \} </tex> называется '''интервалом''' или '''открытым промежутком'''.
Множество <tex> [a, b] = \{ x: a \le x \le b \} </tex> называется '''отрезком''' или '''замкнутым промежутком'''.
Обозначение <tex> <a, b> = \{ x: a\, ?\, x\, ?\, b \} </tex> ('''промежуток''') используется, когда неизвестно включение границ.
По аналогии определяются и промежутки типа <tex> (a, b] </tex>.
}}
{{Определение
|definition=
Пусть дана система отрезков: <tex> a_n \le b_n, \Delta_n = [a_n, b_n] </tex>
<tex> \forall n \in \mathbb N: \Delta_{n+1} \subset \Delta_n </tex>
Тогда эта система отрезков называется '''вложенной'''.
}}
{{Утверждение
|statement=
<tex> \bigcap \limits_{n=1}^{\infty} \Delta_n \ne \varnothing </tex>
|proof=
Определим следующие числовые множества:
<tex> A = \{ a_n, n \in \mathbb N \} </tex>
<tex> B = \{ b_n, n \in \mathbb N \} </tex>
Пусть <tex> c = sup \, A, d = inf \, B </tex>.
<tex> c </tex> и <tex> d </tex> существуют.
В силу вложенности отрезков:
<tex> A \le c \le d \le B \Rightarrow \forall n: [c, d] \subset \Delta_n </tex>
}}
Исходя из определения граней, если:
<tex> d = sup \, A \in \mathbb R : </tex>
<tex> \forall \varepsilon > 0, \exists a \in A: d - \varepsilon < a </tex>
<tex> c = sup \, A \in \mathbb R : </tex>
<tex> \forall \varepsilon > 0, \exists a \in A: c + \varepsilon > a </tex>
=Определения=
{{Определение
|definition=
Если <tex> A \subset \mathbb R, \, \exists b \in \mathbb R : A \le b </tex>, то A называется '''ограниченным сверху''' множеством.
<tex> b </tex> называется '''верхней границей''' множества А.
Если <tex> A \subset \mathbb R, \, \exists c \in \mathbb R : A \ge c </tex>, то A называется '''ограниченным снизу''' множеством.
<tex> c </tex> называется '''нижней границей''' множества А.
Если <tex> A \subset \mathbb R, \, \exists b, c \in \mathbb R : c \le A \le b </tex>, то A называется '''ограниченным''' множеством.
}}
{{Определение
|definition=
Если <tex> A </tex> - ограничено сверху, то наимешьшая из его верхних границ называется '''верхней гранью'''.
<tex> b = sup \, A</tex> ("супремум")
}}
{{Определение
|definition=
Если <tex> A </tex> - ограничено снизу, то наибольшая из его нижних границ называется '''нижней гранью'''.
<tex> b = inf \, A</tex> ("инфиум")
}}
=Существование грани множества=
{{Теорема
|statement=
Если А ограничено сверху, то у него существует верхняя грань (Аналогично для А, ограниченного снизу).
|proof=
Пусть M - множество верхних границ А. Так как А ограничено сверху, то <tex> M \ne \varnothing </tex>.
По определению верхней границы: <tex> A \le M </tex>.
По аксиоме непрерывности:
<tex> \exists d \in \mathbb R: \, A \le d \le M </tex>:
#<tex> A \le d \Rightarrow d \in M </tex>.
#<tex> d \le M \Rightarrow d </tex> - наименьшая из верхних границ А.
Получили, что d - верхняя граница А, и d не больше всех верхних границ А, <tex> d = sup \, A </tex>.
Аналогично для нижней грани ограниченного снизу множества А.
}}
=Принцип вложенных отрезков=
{{Определение
|definition=
Множество <tex> (a, b) = \{ x: a < x < b \} </tex> называется '''интервалом''' или '''открытым промежутком'''.
Множество <tex> [a, b] = \{ x: a \le x \le b \} </tex> называется '''отрезком''' или '''замкнутым промежутком'''.
Обозначение <tex> <a, b> = \{ x: a\, ?\, x\, ?\, b \} </tex> ('''промежуток''') используется, когда неизвестно включение границ.
По аналогии определяются и промежутки типа <tex> (a, b] </tex>.
}}
{{Определение
|definition=
Пусть дана система отрезков: <tex> a_n \le b_n, \Delta_n = [a_n, b_n] </tex>
<tex> \forall n \in \mathbb N: \Delta_{n+1} \subset \Delta_n </tex>
Тогда эта система отрезков называется '''вложенной'''.
}}
{{Утверждение
|statement=
<tex> \bigcap \limits_{n=1}^{\infty} \Delta_n \ne \varnothing </tex>
|proof=
Определим следующие числовые множества:
<tex> A = \{ a_n, n \in \mathbb N \} </tex>
<tex> B = \{ b_n, n \in \mathbb N \} </tex>
Пусть <tex> c = sup \, A, d = inf \, B </tex>.
<tex> c </tex> и <tex> d </tex> существуют.
В силу вложенности отрезков:
<tex> A \le c \le d \le B \Rightarrow \forall n: [c, d] \subset \Delta_n </tex>
}}
Исходя из определения граней, если:
<tex> d = sup \, A \in \mathbb R : </tex>
<tex> \forall \varepsilon > 0, \exists a \in A: d - \varepsilon < a </tex>
<tex> c = sup \, A \in \mathbb R : </tex>
<tex> \forall \varepsilon > 0, \exists a \in A: c + \varepsilon > a </tex>
