304
правки
Изменения
→Модуль непрерывности функции
== Модуль непрерывности функции ==
Пусть <tex>f</tex> - функция, непрерывная на <tex>[a; b]</tex>. Пусть <tex>h \ge 0</tex>. Положим
:<tex>\omega(f, h) = \sup\limits_{|x'' - x'| \le h}\,|f(x'') - f(x')|</tex>.
Можно проверить, что представленная функция является модулем непрерывности. В силу построения такая функция называется модулем непрерывности функции <tex>f</tex>.
Рассмотрим множество выпуклых вверх модулей непрерывности, мажорирующих модуль непрерывности функции <tex>f</tex>:
:<tex>\omega^* \in \Omega^*: \omega(f, h) \le \omega^*(h) \ qquad \forall h \ge 0</tex>.
Опеределим <tex>\omega^*(f, h) = \inf\limits_{\omega^* \in \Omega^*(f)} \,\omega^*(h)</tex>, где <tex>\Omega^*(f)</tex> - класс выпуклых мажорант функции <tex>f</tex> (то есть, все модули непрерывности, удовлетворяющие написанному выше неравенству).
Очевидно, что мы получаем выпуклый вверх модуль непрерывности. Его принято называть выпуклым модулем непрерывности функции <tex>f</tex>.
По доказанной выше теореме получаем следующее следствие:
:<tex>\omega(f, \lambda h) \le \omega^* (f, \lambda h) \le (1 + \lambda)\omega(f, h) \ qquad \forall\lambda, h \ge 0</tex>, а также:
:<tex>\omega(f, h) \le \omega^* (f, h) \le 2 \omega(f, h)</tex>
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
