Использование обхода в глубину для поиска компонент сильной связности

Алгоритм

Вершины 2, 4, 5 сильносвязаны.
Синим цветом обозначен обод DFS по инвертированным ребрам

Компоненты сильной связности в графе [math]G[/math] можно найти с помощью поиска в глубину в 3 этапа:

1. Построить граф [math]H[/math] с обратными (инвертированными) рёбрами
2. Выполнить в [math]H[/math] поиск в глубину и найти [math]f[u][/math] — время окончания обработки вершины [math]u[/math]
3. Выполнить поиск в глубину в [math]G[/math], перебирая вершины во внешнем цикле в порядке убывания [math]f[u][/math]

Полученные на 3-ем этапе деревья поиска в глубину будут являться компонентами сильной связности графа [math]G[/math].
Так как компоненты сильной связности [math]G[/math] и [math]H[/math] графа совпадают, то первый поиск в глубину для нахождения [math]f[u][/math] можно выполнить на графе [math]G[/math], а второй — на [math]H[/math].

Доказательство корректности алгоритма

Теорема:

Вершины [math]s[/math] и [math]t[/math] взаимно достижимы [math]\Leftrightarrow[/math] после выполнения алгоритма они принадлежат одному дереву обхода в глубину.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\Rightarrow[/math] Если вершины [math]s[/math] и [math]t[/math] были взаимно достижимы в графе [math]G[/math], то на третьем этапе будет найден путь из одной вершины в другую, это означает, что по окончанию алгоритма обе вершины лежат в одном поддереве. [math]\Leftarrow[/math] Вершины [math]s[/math] и [math]t[/math] лежат в одном и том же дереве поиска в глубину на третьем этапе алгоритма. Значит, что они обе достижимы из корня [math]r[/math] этого дерева. Вершина [math]r[/math] была рассмотрена вторым обходом в глубину раньше, чем [math]s[/math] и [math]t[/math], значит время выхода из нее при первом обходе в глубину больше, чем время выхода из вершин [math]s[/math] и [math]t[/math]. Из этого мы получаем 2 случая: Обе эти вершины были достижимы из [math]r[/math] в инвертированном графе. А это означает взаимную достижимость вершин [math]s[/math] и [math]r[/math] и взаимную достижимость вершин [math]r[/math] и [math]t[/math]. А складывая пути мы получаем взаимную достижимость вершин [math]s[/math] и [math]t[/math]. Хотя бы одна не достижима из [math]r[/math] в инвертированном графе, например [math]t[/math]. Значит и [math]r[/math] была не достижима из [math]t[/math] в инвертированном графе, так как время выхода [math]r[/math] - больше . Значит между этими вершинами нет пути, но последнего быть не может, потому что [math]t[/math] была достижима из [math]r[/math] по пункту 1). Значит, из случая 2.1 и не существования случая 2.2 получаем, что вершины [math]s[/math] и [math]t[/math] взаимно достижимы в обоих графах.

[math]\triangleleft[/math]

Время работы алгоритма

1. Для того, чтобы инвертировать все ребра в графе, представленном в виде списка потребуется [math]O(V + E)[/math] действий. Для матричного представления графа не нужно выполнять никакие действия для его инвертирования.
2. Количество ребер в инвертированном равно количеству ребер в изначальном графе, поэтому поиск в глубину будет работать за [math]O(V + E)[/math]
3. Поиск в глубину в исходном графе выполняется за [math]O(V + E)[/math].

В итоге получаем, что время работы алгоритма [math]O(V + E)[/math].

Псевдокод

Пусть [math]G[/math] — исходный граф, [math]H[/math] —инвертированный граф. В массиве [math]ord[/math] будем хранить номера вершин в порядке окончания обработки поиском в глубину в графе [math]G[/math]. В результате получаем массив [math]component[/math], который каждой вершине сопоставляет номер её компоненты.

   function dfs1(v)                                          
       color[v] = 1
       for (всех i смежных с v)
           if (вершина i не посещена)
               dfs1(G[v][i])
       Добавляем вершину v в конец списка ord
   
   function dfs2(v)                                          
       component[v] = col
       for (всех i смежных с v)
           if (если вершина i еще не находится ни в какой компоненте)                       
               dfs2(H[v][i])
   
   function main()
       считываем исходные данные, формируем массивы G и H
       for (по всем вершинам i графа G)                           
           if (вершина i не посещена)
               dfs1(i)
       col = 1
       for (по всем вершинам i списка ord[] в обратном порядке)                                                        
           if (если вершина i не находится ни в какой компоненте)
               dfs2(i)
               col++

Источники информации

• Р.Седжвик. "Фундаментальные алгоритмы на С++. Алгоритмы на графах" - СПб, ДиаСофтЮП, 2002
• MAXimal :: algo :: Поиск компонент сильной связности, построение конденсации графа