Теорема о декомпозиции

Теорема

Теорема (о декомпозиции):

Пусть [math]G = (V, E)[/math] — транспортная сеть, [math]f[/math] — поток в [math]G[/math]. Тогда [math]|f|[/math] можно представить в виде совокупности [math]O(E)[/math] путей из истока в сток и циклов: [math]|f| = \sum\limits_{i=1}^{}c_{i}\cdot f(p_{i}) + \sum\limits_{j=1}^{}d_{j}\cdot f(k_{j})[/math], где [math]p_{i}[/math] — путь из [math]s[/math] в [math]t[/math], [math]k_{j}[/math] — цикл, [math]c_{i}[/math] и [math]d_{j}[/math] — константы.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]s[/math] — исток, [math]t[/math] — сток сети [math]G[/math]. Пусть из [math]s[/math] выходит хотя бы одно ребро с положительным потоком. Пойдем по этому ребру, попадем в вершину [math]v_1[/math]. Если [math]v_1[/math] совпадает с [math]t[/math], то найденный путь является путем из [math]s[/math] в [math]t[/math], иначе по закону сохранения потока для вершины [math]v_1[/math] из нее должно выходить хотя бы одно ребро с положительным потоком в некоторую вершину [math]v_2[/math]. Будем продолжать этот процесс до тех пор, пока [math]v_i[/math] не совпадет с [math]t[/math] (найден путь [math]p_{i}[/math] из [math]s[/math] в [math]t[/math]) либо с одной из ранее посещенных вершин (найден цикл [math]k_{j}[/math]). Данный путь (цикл) будет иметь положительный поток [math]f[/math]([math]p_{i}[/math]) или [math]f[/math]([math]k_{j}[/math]), равный минимальному среди потоков по всем ребрам пути (цикла). Уменьшая поток каждого ребра этого пути (цикла) на величину [math]f[/math]([math]p_{i}[/math]) или [math]f[/math]([math]k_{j}[/math]), получаем новый поток. Будем продолжать описанный алгоритм до тех пор, пока поток из [math]s[/math] не станет нулевым. Потребуем теперь, чтобы потоки из других вершин стали нулевыми. Для этого повторим поиск циклов вышеописанным способом для других вершин. Итак, поскольку потоки по всем ребрам равны нулю, то мы получили искомую декомпозицию потока. Заметим, что после поиска одного пути (цикла) поток хотя бы по одному из ребер обнулится, следовательно, для полного представления потока потребуется не более [math]E[/math] таких операций.

[math]\triangleleft[/math]

Алгоритм

Рассмотрим алгоритм, описанный в доказательстве теоремы. Построение декомпозиции потока можно записать с помощью псевдокода (на вход подается сеть [math]G = (V, E)[/math]):

Псевдокод

function simpleDecomposition([math]s[/math]):
    [math] Q = \varnothing[/math]                      // множество пройденных рёбер
    [math] P = \varnothing [/math]                      // множество посещённых вершин
    [math]v = s[/math]
    while [math] v \notin P [/math]
        if [math] v = t [/math]
            break
        edge [math]e = \varnothing[/math]
        for [math]u : (v,u) \in E[/math]
            if [math] f(v,u)\gt 0 [/math]
                [math]e = (v,u)[/math]
                break
        if [math]e = \varnothing[/math]
            return [math]\varnothing[/math]
        [math] Q[/math].push_back([math]e[/math])
        [math] P = P \cup \{v\}[/math]
        [math] v = u [/math]
    if [math]v \in P [/math]                    // нашли цикл, удаляем из [math]Q[/math] все ребра, найденные до того, как [math]v[/math] была включена в [math]P[/math]
        while ([math]Q[/math].begin.from [math]\neq[/math] [math]v[/math])
            [math]Q[/math].pop_front()
    [math]f(Q) = f(Q)[/math] - [math]\min\limits_{(u,v) \in Q}f(u,v) [/math]
    return [math](f, Q)[/math]

function fullDecomposition():
    [math] d = \varnothing [/math]                       // собственно, декомпозиция графа: совокупность подмножеств, которые являются путями/циклами, и их поток
    [math]p = [/math] simpleDecomposition([math]s[/math])  // один из путей/циклов в графе и его поток
    while ([math]p \neq \varnothing[/math])
        [math] d = d \cup p [/math]
        [math]p = [/math] simpleDecomposition([math]s[/math])
    for [math] u \in V [/math]
        [math]p = [/math] simpleDecomposition([math]u[/math])
        while ([math]p \neq \varnothing[/math])
            [math] d = d \cup \{p\} [/math]
            [math]p = [/math] simpleDecomposition([math]u[/math])
  return [math]d[/math]

Анализ работы алгоритма

Утверждение:

Время работы алгоритма поиска декомпозиции потока, описанного выше, равно [math]O(VE)[/math].

[math]\triangleright[/math]

Действительно, каждый путь (цикл) содержит не более [math]V[/math] вершин, следовательно, поиск пути (цикла) работает за [math]O(V)[/math]. Т. к. декомпозиция потока содержит [math]O(E)[/math] путей, то всего в ходе алгоритма при рассмотрении всех вершин будет осуществлено [math]O(E)[/math] поисков путей (циклов) (в остальных случаях в силу отсутствия потока через вершину поиск пути вызываться не будет). Итого суммарное время работы составит [math]O(VE)[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Источники

• Ravindra Ahuja, Thomas Magnanti, James Orlin — Network flows — Prentice-Hall, Inc. Upper Saddle River, New Jersey, 1993.