403
правки
Изменения
Добавлена статья
{{В разработке}}
== Вычисление некоторых пределов ==
Вычислим предварительно ряд важных пределов.
=== sin(x)/x ===
{{Утверждение
|statement=
<tex>\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1</tex>
|proof=
В теории степенных рядов синус определён как сумма ряда. Сейчас для доказательства, однако,
воспользуемся геометрическим смыслом синуса.
Рассмотрим радианную меру угла <tex>\alpha</tex>, равную отношению длины дуги к радиусу окружности.
В частности, при <tex>1</tex>, длина дуги совпадает с величиной угла.
<tex>0 \leq x \le \frac\pi2</tex>
Сектор <tex>ADB \subset \triangle AOD</tex>
TODO: нормальный значок дуги.
<tex>\sin x = |BC| \leq AB < \breve{AB} = x</tex>
<tex>\sin x < x \Rightarrow \frac{\sin x}x < 1</tex>. Запомним этот факт.
Обозначим за <tex>SECT_{AOB}</tex> площадь сектора <tex>{AOB}</tex>. Тогда
<tex>\frac{SECT_{AOB}}{x/2} \leq S_{\triangle AOD}</tex>,
<tex>\frac12 tg x = \frac12 \frac{\sin x}{\cos x} \Rightarrow \cos x \leq \frac{\sin x}{x}</tex>
Но тогда, <tex>\cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1</tex>.
Но так как <tex>\lim\limits_{x \to 0} \cos x = \cos 0 = 1</tex>
Тогда <tex>\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1</tex>.
}}
=== (1 + 1/n)^n ===
{{Определение
|definition=
<tex>e = \lim\limits_{n \to \inf} \left(1 + \frac1n \right) ^ n</tex>
}}
Из этого, подставив <tex>x = \frac1n</tex> <tex>\lim\limits_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}}</tex>
Далее, прологарифмировав последнее равенство, получим:
<tex>\frac{\log(1 + x)}x</tex> при <tex>x \to 0</tex> стремится к <tex>1</tex>.
=== (e^x - 1)/x ===
{{Утверждение
|statement=
<tex>\frac{e^x - 1}x \to 1<tex> </tex>x \to 0</tex>
|proof=
<tex>\frac{e^x - 1}{x}</tex>(подставив <tex>t = e^x - 1</tex>) <tex> = \frac{t}{\ln (1 + t)}</tex>.
Однако, по только что доказанному, <tex>\frac{\ln (1 + x)}{x} \xrightarrow[x \to 0]{} 1 \Rightarrow \frac{t}{\ln (1 + t)} \xrightarrow[t \to 0] = 1</tex>
}}
Рассмотрим выражение <tex>\frac{x^n - 1}{mx}, \ x \to 0<tex>. Оно (?)создаёт неопределённость <tex>\frac00</tex>. При этом, предел нельзя
вычислить переходом к нему в числителе и знаменателе по отдельности. Этот предел подстановкой сводится к предыдущим.
== Вычисление производных некоторых функций ===
=== y = x^n ===
==== n {{---}} целое ====
{{Утверждение
|statement=
<tex>(x^n)' = nx^{n - 1}, \ n \in \mathbb{N}</tex>
|proof=
Докажем по индукции.
* База: <tex>n = 1</tex>.
Это соответствует функции <tex>x</tex>. Тогда <tex>\Delta y = \Delta x \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} = 1, \Delta x \to 0</tex>
Тогда <tex>x' = 1 = 1 \cdot x^{1 - 1}</tex>
* Шаг:
<tex>\left(x ^ n\right)' = (x \cdot x^{n - 1})' = x'x^{n-1} + (x^{n - 1})'x = x^{n - 1} + (n - 1)x^{n - 1} = n x^{n - 1}</tex>
}}
Заметим, что если <tex>y = f(x)</tex> непрерывна и монотонна в окрестности <tex>0</tex>, а также, <tex>f'(x_0) \ne 0</tex>, то
обратная функция дифференцируема в <tex>y_0 = f(x_0)</tex>, и её производная равна <tex>\frac1{f'(x_0)}</tex>. Это следует
из того факта, что <tex>\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac1{\frac{\Delta x}{\Delta y}}</tex>.
==== 1/n {{---}} целое ====
{{Утверждение
|statement=
Посчитаем <tex>y' = (x^{\frac1n})' = \frac1n x^{\frac1n - 1}, \ n \in \mathbb{N}</tex>
|proof=
Согласно формуле дифференцирования обратной функции, <tex>x' = (y^n)' = n y^{n - 1}</tex>.
<tex>y' = \frac{1}{x'} = \frac1{ny^{n - 1}} = \frac1n y_{1 - n} = \frac1n \left(x^{\frac1n}\right)^{1 - n} = \frac1n x^{n - 1}</tex>
}}
Подведём промежуточный итог. Мы научились считать <tex>(x^{\alpha})', \ \alpha = n, \frac1n, \ n \in \mathbb{N}</tex>
==== n {{---}} рациональное ====
{{Утверждение
|statement=
<tex>(x ^ {\alpha})', \ \alpha \in \mathbb{Q}</tex>.
|proof=
<tex>(x^{\frac{n}{m}})'</tex>(подставив <tex>t = x^{\frac 1m}<tex>) </tex> = n t^{m - 1} \frac 1m x ^ {\frac1m - 1} = \frac{n}{m} x ^ {\frac{n}{m} - 1}</tex>
}}
Важное Замечание:
<tex>x^{\sqrt2}</tex> {{---}} не степенная функция. Все реальные пацаны считают это по определению равным <tex>e^{\sqrt2 \cdot \ln x}</tex>
=== e^x ===
{{Утверждение
|statement=
<tex>(e^x)' = e^x</tex>
|proof=
<tex>y = e^x</tex>
<tex>\Delta y = e^{x + \Delta x} - e^x = e^x(e^{\Delta x} - 1)</tex>
Тогда <tex>\frac{\Delta y}{\Delta x} = e^x \cdot \frac{e^{\Delta x} - 1}{e^x}</tex>.
Ранее мы доказали, что <tex>\frac{e^x - 1}{x} \xrightarrow[x\to 0]{} 1</tex>.
Тогда <tex>y' = \frac{\Delta y}{\Delta x} = e^x</tex>.
Это единственная функция, которая обладает таким свойством(это просто забавный факт, его не надо доказывать). Именно поэтому <tex>e</tex> занимает такое важное место в
математике.
}}
=== ln(x) ===
{{Утверждение
|statement=
<tex>\ln'(x) = \frac1x</tex>
|proof=
<tex>x = e^y</tex>. Тогда <tex>x' = e^y</tex>.
<tex>y' = \frac{1}{x'} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{e^{\ln x}} = \frac1x</tex>
}}
=== sin(x) ===
{{Утверждение
|statement=
<tex>\sin'(x) = \cos(x)</tex>
|proof=
Пусть <tex>y = \sin x</tex>.
<tex>\Delta y = \sin(x + \Delta x) - \sin(x) = 2 \sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right) \cos\left(x + \frac{\Delta x}{2}\right)</tex>
<tex>\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right)}{\frac{\Delta x}{2}} \cdot \cos\left(x + \frac{\Delta x}{2} \right)</tex>
Первый множитель, равный вычисленному ранее пределу, равен <tex>1</tex>, а второй при <tex>\Delta x \to 0</tex> стремится к <tex>\cos x</tex>.
Тогда <tex>\sin'(x) = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \cos x</tex>.
}}
=== arcsin(x) ===
{{Утверждение
|statement=
<tex>\arcsin' x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \ y \in \left[-\frac{-\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right]</tex>
|proof=
<tex>y = \arcsin x \Rightarrow x = \sin y</tex>. Тогда <tex>x' = \cos x</tex>.
Так как <tex>\cos(\arcsin(x)) \leq 0</tex>, то <tex>y' = \frac{1}{\cos y} = \frac{1}{\cos \arcsin x} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 (\arcsin x)}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}</tex>
Получаем <tex>\arcsin' x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}</tex>.
}}
