Преобразование Мёбиуса для получения коэффициентов полинома Жегалкина

Пусть задана булева функция [math]f: B^n \rightarrow B, \;\; B=\{ 0; 1 \}[/math]. Любая булева функция представима в виде полинома Жегалкина, притом единственным образом.

Пусть [math] i = (i _{1}, i _{2}, .. i _{n}), \;\; i _{k} = \{0 ; 1\}[/math], и введем обозначение [math] x ^{i _{k}} \sim \left\{\begin{matrix} x, \;\; i _{k}=1 \\ 1, \;\; i _{k}=0 \end{matrix}\right. [/math]  . 

Тогда полином Жегалкина можно записать как: [math] f(x) = \bigoplus\limits_{i} \alpha _{i} \cdot x_{1}^{i_{1}} \cdot x_{2}^{i_{2}} \cdot ... \cdot x_{n}^{i_{n}}[/math], где [math]\alpha _{i} \in \{ 0; 1 \}[/math].
Множество коэффициентов [math]\{\alpha _{i}\}[/math] можно рассматривать как функцию [math]\alpha[/math], заданной на множестве индексов [math] i \in \overline{1..n}[/math], то есть [math]\alpha: i \mapsto \alpha_{i}[/math].

Очевидно, функцию [math] f [/math] можно записать и следующим образом: [math] f(x) = \bigoplus \limits_{i} \alpha _{i} \cdot [x _{1} , \; [/math] если [math] \;\; i _{1}] \cdot [x _{2} , \; [/math] если [math] \;\; i _{2}] \cdot ... \cdot [x _{n} , \; [/math] если [math] \;\; i_{n}][/math].

Тут запись [math][x _{k} , \; [/math] если [math] \; i _{k}][/math] означает, что элелемент [math] x_{k} [/math] присутствует в соответствующем члене полинома только если [math] i_{k} = 1 [/math]. Тогда если для какого-то [math]x[/math], [math]i \succ x[/math] ,то в слагаемом будет существовать хотя бы один множитель, равный нулю, и такое слагаемое на сумму не повлияет. Отсюда ясно, что [math] f(x) = \bigoplus \limits_{i \preceq x} \alpha _{i} [/math].   [math] (1) [/math]
Найдем отображение [math] f \mapsto \alpha[/math] (То есть такое, которое по заданной функции вычисляет значения всех коэффциентов).

Теорема:

Пусть задана функция [math] f [/math]. Тогда функцию [math] \alpha_{x} [/math] можно найти по формуле: [math]\alpha _{x} = \bigoplus \limits_{j\preceq x} f(j)[/math]    [math] (2) [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Докажем при помощи индукции по количеству единиц в векторе [math] x [/math] ( иначе говоря, по сумме [math]x_{1}+x_{2}+...+x_{n}[/math] ) и для удобства обозначим это количество единиц(сумму) [math] wt(x) [/math]. 1) База: если [math] x = 0 [/math], то, очевидно [math] f(0) = \alpha _{0} [/math] 2) Пускай теорема справедлива для всех сумм [math]wt(x) \lt k[/math]. Покажем, что в таком случае она верна и для [math]wt(x) = k[/math]. По [math] (1) [/math], а далее по предположению индукции видим: [math] f(x) = \bigoplus \limits_{i \preceq x} \alpha _{i} = \left [ \bigoplus \limits_{i \prec x} \bigoplus \limits_{j\preceq i} f(j) \right ] \oplus \alpha_{x}[/math] . Рассмотрим сумму [math] \left [ \bigoplus \limits_{i \prec x} \bigoplus \limits_{j\preceq i} f(j) \right ] [/math]. Каждый элемент [math] f(j) [/math] содержится в ней, только если [math] j \preceq x [/math], и для фиксированных [math] j, x [/math] элемент [math] f(j)[/math] встречается ровно столько раз, сколько существует [math] i [/math] , таких, что [math] j \prec i \preceq x[/math]. Несложно увидеть, что таких [math] i [/math] существует ровно [math] 2^{wt(x)-wt(j)}-1 [/math], то есть нечетное количество раз. Тогда [math] \left [ \bigoplus \limits_{i \prec x} \bigoplus \limits_{j\preceq i} f(j) \right ] = \bigoplus \limits_{j\prec x} f(j) [/math]. Но тогда [math] f(x) = \left [ \bigoplus \limits_{j\prec x} f(j) \right ] \oplus \alpha_{x} \Leftrightarrow f(x) \oplus \bigoplus \limits_{j\prec x} f(j) = \alpha_{x} \Leftrightarrow \alpha_{x} = \bigoplus \limits_{j\preceq x} f(j)[/math]. То есть при [math]wt(x) = k[/math] формула также выполняется, значит при любых [math] x [/math] выполняется [math]\alpha _{x} = \bigoplus \limits_{j\preceq x} f(j)[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Отображение [math] f \rightarrow \alpha[/math] также называется преобразованием Мёбиуса.

Видно, что [math] (1) [/math] и [math] (2) [/math] это одно и тоже преобразование. Значит, если применить преобразование Мёбиуса к функции, а затем вновь применить то же преобразование к получившейся функции, тогда вновь получим исходную функцию [math]f[/math]. То есть преобразование Мёбиуса обратно самому себе (Иными словами: является инволюцией).

Литература

• Логачёв О.А, Сальников А.А., Ященко В.В. Булевы фунции в теории кодирования и криптологии — МЦНМО, 2004. - 470с. — ISBN 5-94057-117-4.