Декартово дерево

Декартово дерево — это структура данных, объединяющая в себе бинарное дерево поиска и бинарную кучу (отсюда и второе её название: treap (tree + heap) и дерамида (дерево + пирамида), также существует название курево (куча + дерево).

Более строго, это бинарное дерево, в узлах которого хранится пары [math] (x,y) [/math], где [math]x[/math] — это ключ, а [math]y[/math] — это приоритет. Также оно является двоичным деревом поиска по [math]x[/math] и пирамидой по [math]y[/math]. Предполагая, что все [math]x[/math] и все [math]y[/math] являются различными, получаем, что если некоторый элемент дерева содержит [math](x_0,y_0)[/math], то у всех элементов в левом поддереве [math]x \lt x_0[/math], у всех элементов в правом поддереве [math] x \gt x_0[/math], а также и в левом, и в правом поддереве имеем: [math] y \lt y_0[/math].

Дерамиды были предложены Сиделем (Siedel) и Арагоном (Aragon) в 1996 г.

Операции в декартовом дереве

split

Операция split

Операция [math]\mathrm{split}[/math] (разрезать) позволяет сделать следующее: разрезать декартово дерево [math]T[/math] по ключу [math]k[/math] и получить два других декартовых дерева: [math]T_1[/math] и [math]T_2[/math], причем в [math]T_1[/math] находятся все ключи дерева [math]T[/math], не большие [math]k[/math], а в [math]T_2[/math] — большие [math]k[/math].

[math]\mathrm{split}(T, k) \to \{T_1, T_2\}[/math].

Эта операция устроена следующим образом.

Рассмотрим случай, в котором требуется разрезать дерево по ключу, большему ключа корня. Посмотрим, как будут устроены результирующие деревья [math]T_1[/math] и [math]T_2[/math]:

• [math]T_1[/math]: левое поддерево [math]T_1[/math] совпадёт с левым поддеревом [math]T[/math]. Для нахождения правого поддерева [math]T_1[/math], нужно разрезать правое поддерево [math]T[/math] на [math]T^R_1[/math] и [math]T^R_2[/math] по ключу [math]k[/math] и взять [math]T^R_1[/math].
• [math]T_2[/math] совпадёт с [math]T^R_2[/math].

Случай, в котором требуется разрезать дерево по ключу, меньше либо равному ключа в корне, рассматривается симметрично.

Псевдокод:

<Treap, Treap> split(t : Treap, k : int):
  if k > t.x 
    <t1, t2> = split(t.right, k)
    t.right = t1
    return <t1, t2>
  else 
    <t1, t2> = split(t.left, k)
    t.left = t2
    return <t1, t2>

Оценим время работы операции [math]\mathrm{split}[/math]. Во время выполнения вызывается одна операция [math]\mathrm{split}[/math] для дерева хотя бы на один меньшей высоты и делается ещё [math]O(1)[/math] операций. Тогда итоговая трудоёмкость этой операции равна [math]O(h)[/math], где [math]h[/math] — высота дерева.

merge

Операция merge

Рассмотрим вторую операцию с декартовыми деревьями — [math]\mathrm{merge}[/math] (слить).

С помощью этой операции можно слить два декартовых дерева в одно. Причем, все ключи в первом(левом) дереве должны быть меньше, чем ключи во втором(правом). В результате получается дерево, в котором есть все ключи из первого и второго деревьев.

[math]\mathrm{merge}(T_1, T_2) \to \{T\}[/math]

Рассмотрим принцип работы этой операции. Пусть нужно слить деревья [math]T_1[/math] и [math]T_2[/math]. Тогда, очевидно, у результирующего дерева [math]T[/math] есть корень. Корнем станет вершина из [math]T_1[/math] или [math]T_2[/math] с наибольшим приоритетом [math]y[/math]. Но вершина с самым большим [math]y[/math] из всех вершин деревьев [math]T_1[/math] и [math]T_2[/math] может быть только либо корнем [math]T_1[/math], либо корнем [math]T_2[/math]. Рассмотрим случай, в котором корень [math]T_1[/math] имеет больший [math]y[/math], чем корень [math]T_2[/math]. Случай, в котором корень [math]T_2[/math] имеет больший [math]y[/math], чем корень [math]T_1[/math], симметричен этому.

Если [math]y[/math] корня [math]T_1[/math] больше [math]y[/math] корня [math]T_2[/math], то он и будет являться корнем. Тогда левое поддерево [math]T[/math] совпадёт с левым поддеревом [math]T_1[/math]. Справа же нужно подвесить объединение правого поддерева [math]T_1[/math] и дерева [math]T_2[/math].

Псевдокод:

func merge(t1 : Treap, t2 : Treap):
  if t1 == null or t2 == null
    if t2 == null
      return left
    else
      return right
  else if t1.y > t2.y
    merge(t1.right, t1.right, t2)
    return t1
  else 
    merge(t2.left, t1, t2.left)
    return t2

Рассуждая аналогично операции [math]\mathrm{split}[/math] приходим к выводу, что трудоёмкость операции [math]\mathrm{merge}[/math] равна [math]O(h)[/math], где [math]h[/math] — высота дерева.

insert

Операция [math]\mathrm{insert}(T, k)[/math] добавляет в дерево [math]T[/math] элемент [math]k[/math], где [math]k.x[/math] — ключ, а [math]k.y[/math]— приоритет.

Представим что элемент [math]k[/math], это декартово дерево из одного элемента, и для того чтобы его добавить в наше декартово дерево [math]T[/math], очевидно, нам нужно их слить. Но [math]T[/math] может содержать ключи как меньше, так и больше ключа [math]k.x[/math], поэтому сначала нужно разрезать [math]T[/math] по ключу [math]k.x[/math].

• Реализация №1

1. Разобьём наше дерево по ключу, который мы хотим добавить, то есть [math]\mathrm{split}(T, k.x) \to \{T_1, T_2\}[/math].
2. Сливаем первое дерево с новым элементом, то есть [math]\mathrm{merge}(T_1, k) \to T_1[/math].
3. Сливаем получившиеся дерево со вторым, то есть [math]\mathrm{merge}(T_1, T_2) \to T[/math].

• Реализация №2

1. Сначала спускаемся по дереву (как в обычном бинарном дереве поиска по [math]k.x[/math]), но останавливаемся на первом элементе, в котором значение приоритета оказалось меньше [math]k.y[/math].
2. Теперь вызываем [math]\mathrm{split}(T, k.x) \to \{T_1, T_2\}[/math] от найденного элемента (от элемента вместе со всем его поддеревом)
3. Полученные [math]T_1[/math] и [math]T_2[/math] записываем в качестве левого и правого сына добавляемого элемента.
4. Полученное дерево ставим на место элемента, найденного в первом пункте.

В первой реализации два раза используется [math]\mathrm{merge}[/math], а во второй реализации слияние вообще не используется.

remove

Операция [math]\mathrm{remove}(T, x)[/math] удаляет из дерева [math]T[/math] элемент с ключом [math]x[/math].

• Реализация №1

1. Разобьём наше дерево по ключу, который мы хотим удалить, то есть [math]\mathrm{split }(T, k.x) \to \{T_1, T_2\}[/math].
2. Теперь отделяем от первого дерева элемент [math]x[/math], опять таки разбивая по ключу [math]x[/math], то есть [math]\mathrm{split }(T_1, k.x + \varepsilon) \to \{T_1, T_3\}[/math], где [math]\varepsilon[/math] малая величина (т.е. [math]k.x + \varepsilon[/math] небольше ключей обоих детей вершины k).
3. Сливаем первое дерево со вторым, то есть [math]\mathrm{merge }(T_1, T_2) \to T[/math].

• Реализация №2

1. Спускаемся по дереву (как в обычном бинарном дереве поиска по [math]x[/math]), ища удаляемый элемент.
2. Найдя элемент, вызываем [math]\mathrm{merge}[/math] его левого и правого сыновей
3. Результат процедуры [math]\mathrm{merge}[/math] ставим на место удаляемого элемента.

В первой реализации два раза используется [math]\mathrm{split}[/math], а во второй реализации разрезание вообще не используется.

Построение декартова дерева

Пусть нам известно из каких пар [math](x_i, y_i)[/math] требуется построить декартово дерево, причем также известно, что [math]x_1 \lt x_2 \lt \ldots \lt x_n[/math].

Рекурсивный алгоритм

Рассмотрим приоритеты [math]y_1 , y_2 , \ldots , y_n[/math] и выберем максимум среди них, пусть это будет [math]y_k[/math], и сделаем [math](x_k, y_k)[/math] корнем дерева (по свойству пирамиды в корне должен быть элемент с максимальным приоритетом). Проделав то же самое с [math]y_1 , y_2 , \ldots , y_{k-1}[/math] и [math]y_{k+1} , y_{k+2} , \ldots , y_n[/math], получим соответственно левого и правого сына [math](x_k, y_k)[/math].

Такой алгоритм работает за [math]O(n^2)[/math].

Алгоритм за O(n)

Будем строить дерево слева направо, то есть начиная с [math](x_1, y_1)[/math] по [math](x_n, y_n)[/math], при этом помнить последний добавленный элемент [math](x_k, y_k)[/math]. Он будет самым правым, так как у него будет максимальный ключ, а по ключам декартово дерево представляет собой двоичное дерево поиска. При добавлении [math](x_{k+1}, y_{k+1})[/math], пытаемся сделать его правым сыном [math](x_k, y_k)[/math], это следует сделать если [math]y_k \gt y_{k+1}[/math], иначе делаем шаг к предку последнего элемента и смотрим его значение [math]y[/math]. Поднимаемся до тех пор, пока приоритет в рассматриваемом элементе меньше приоритета в добавляемом, после чего делаем [math](x_{k+1}, y_{k+1})[/math] его правым сыном, а предыдущего правого сына делаем левым сыном [math](x_{k+1}, y_{k+1})[/math].

Заметим, что каждую вершину мы посетим максимум дважды: при непосредственном добавлении и, поднимаясь вверх (ведь после этого вершина будет лежать в чьем-то левом поддереве, а мы поднимаемся только по правому). Из этого следует, что построение происходит за [math]O(n)[/math].

Случайные приоритеты

Мы уже выяснили, что сложность операций с декартовым деревом линейно зависит от его высоты. В действительности высота декартова дерева может быть линейной относительно его размеров. Например, высота декартова дерева, построенного по набору ключей [math](1, 1), \ldots, (n, n)[/math], будет равна [math]n[/math]. Во избежание таких случаев, полезным оказывается выбирать приоритеты в ключах случайно.

Высота в декартовом дереве с случайными приоритетами

Теорема:

В декартовом дереве из [math]n[/math] узлов, приоритеты [math]y[/math] которого являются случайными величинами c равномерным распределением, средняя глубина вершины [math]O(\log n)[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Будем считать, что все выбранные приоритеты [math]y[/math] попарно различны. Для начала введем несколько обозначений: [math]x_k[/math] — вершина с [math]k[/math]-ым по величине ключом; индикаторная величина [math]A_{i, j} = \left\{\begin{array}{lllc} 1 &&, x_i\ \text{is ancestor of} \ x_j\\ 0 &&, \text{otherwise}\\ \end{array}\right. [/math] [math]d(v)[/math] — глубина вершины [math]v[/math]; В силу обозначений глубину вершины можно записать как количество предков: [math]d(x_k) = \sum\limits_{i = 1}^{n} A_{i,k} [/math]. Теперь можно выразить математическое ожидание глубины конкретной вершины: [math]E(d(x_k)) = \sum\limits_{i = 1}^{n} Pr[A_{i,k} = 1] [/math] — здесь мы использовали линейность математического ожидания, и то что [math]E(X) = Pr[X = 1][/math] для индикаторной величины [math]X[/math] ([math]Pr[A][/math] — вероятность события [math]A[/math]). Для подсчёта средней глубины вершин нам нужно сосчитать вероятность того, что вершина [math]x_i[/math] является предком вершины [math]x_k[/math], то есть [math]Pr[A_{i,k} = 1][/math]. Введем новое обозначение: [math]X_{i, k}[/math] — множество ключей [math]\{x_i, \ldots, x_k\}[/math] или [math]\{x_k, \ldots, x_i\}[/math], в зависимости от [math]i \lt k[/math] или [math]i \gt k[/math]. [math]X_{i, k}[/math] и [math]X_{k, i}[/math] обозначают одно и тоже, их мощность равна [math]|k - i| + 1[/math]. Лемма: Для любых [math]i \ne k[/math] , [math]x_i[/math] является предком [math]x_k[/math] тогда и только тогда, когда [math]x_i[/math] имеет наименьший приоритет среди [math]X_{i, k}[/math]. Доказательство: [math]\triangleright[/math] Если [math]x_i[/math] является корнем, то оно является предком [math]x_k[/math] и по определению имеет минимальный приоритет среди всех вершин, следовательно, и среди [math]X_{i, k}[/math]. С другой стороны, если [math]x_k[/math] — корень, то [math]x_i[/math] — не предок [math]x_k[/math], и [math]x_k[/math] имеет минимальный приоритет в декартовом дереве; следовательно, [math]x_i[/math] не имеет наименьший приоритет среди [math]X_{i, k}[/math]. Теперь предположим, что какая-то другая вершина [math]x_m[/math] — корень. Тогда, если [math]x_i[/math] и [math]x_k[/math] лежат в разных поддеревьях, то [math]i \lt m \lt k[/math] или [math]i \gt m \gt k[/math], следовательно, [math]x_m[/math] содержится в [math]X_{i , k}[/math]. В этом случае [math]x_i[/math] — не предок [math]x_k[/math], и наименьший приоритет среди [math]X_{i, k}[/math] имеет вершина с номером [math]m[/math]. Наконец, если [math]x_i[/math] и [math]x_k[/math] лежат в одном поддереве, то доказательство применяется по индукции: пустое декартово дерево есть тривиальная база, а рассматриваемое поддерево является меньшим декартовым деревом. [math]\triangleleft[/math] Так как распределение приоритетов равномерное, каждая вершина среди [math]X_{i, k}[/math] может иметь минимальный приоритет, мы немедленно приходим к следующему равенству: [math]Pr[A_{i, j} = 1] = \left\{\begin{array}{lllc} \frac{1}{k - i + 1} &&, k \ \gt \ i\\ 0 &&, k\ =\ i\\ \frac{1}{i - k + 1} &&, k \ \lt \ i\\ \end{array}\right. [/math] Подставив последнее в нашу формулу с математическим ожиданием получим: [math]E(d(x_k)) = \sum\limits_{i = 1}^{n} Pr[A_{i,k} = 1] = \sum\limits_{i = 1}^{k - 1} \frac{1}{k - i + 1} + \sum\limits_{i = k + 1}^{n} \frac{1}{i - k + 1} \le \ln(k) + \ln(n-k) + 2[/math] (здесь мы использовали неравенство [math]\sum\limits_{i = 1}^{n} \frac{1}{i} \le \ln(n) + 1[/math]) [math]\log(n)[/math] отличается от [math]\ln(n)[/math] в константу раз, поэтому [math]\log(n) = O(\ln(n))[/math]. В итоге мы получили что [math]E(d(x_k)) = O(\log(n))[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Таким образом, среднее время работы операций [math]\mathrm{split}[/math] и [math]\mathrm{merge}[/math] будет [math]O(\log(n))[/math].

См. также

• Декартово дерево по неявному ключу

Источники информации

• Декартово дерево — Википедия
• Treaps и T-Treaps