1679
правок
Изменения
м
Нет описания правки
Частный случай на МП:
: <tex> (X, \rho), a \ne b, \rho(b, a) > 0: r = \frac 1 3 \rho(a, b); V_r(a) \cap V_r(b) = \varnothing </tex> , ч.т.д.
}}
Основное характеристическое свойство замкнутых множеств.
{{Утверждение
|about=
В прямую сторону
|statement=
F - замкнуто, если оно содержит в себе пределы всех своих сходящихся последовательностей. <br />
F - замкнуто <tex> \Leftrightarrow \forall \{ x_1 \dots x_n \} \in F, x_n \rightarrow x, x \in F </tex>
|proof=<br />
: Пусть <tex> x \notin F, F = \overline G \Rightarrow x \in G = \bigcup\limits_\alpha V \Rightarrow x \in V </tex>
: <tex> F \cap G = \varnothing \Rightarrow F \cap V = \varnothing </tex>
: <tex> x_n \rightarrow x : \forall \varepsilon > 0 \, \exists N \, \forall n > N : x_n \in V </tex> , что противоречит <tex> x_n \in F (F \cap V = \varnothing) \Rightarrow x \in F </tex>
В обратную сторону:
<tex> x \notin F, \exists V : x \in V \cap F = \varnothing \Rightarrow \overline F </tex> - открытое
}}
{{Утверждение
|about=
В обратную сторону
|statement=
Если множество F содержит в себе пределы всех своих сходящихся последовательностей, то оно замкнуто.
|proof=
В обратную сторону:
<tex> x \notin F, \exists V : x \in V \cap F = \varnothing \Rightarrow \overline F </tex> - открытое
}}
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
