Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Алгоритм Джонсона

135 байт добавлено, 23:45, 25 января 2016
Нет описания правки
'''Алгоритм Джонсона''' (англ. ''Johnson's algorithm'') находит кратчайшие пути между всеми парами вершин во взвешенном ориентированном графе с любыми весами ребер, но не имеющем отрицательных циклов.
== Алгоритм ==
=== Описание ===
Алгоритм Джонсона позволяет найти кратчайшие пути между всеми парами вершин в течение времени <tex> O(V^2\log(V) + VE) </tex>. Для разреженных графов этот алгоритм ведет себя асимптотически быстрее [[Алгоритм Флойда|алгоритма Флойда]]. Этот алгоритм либо возвращает матрицу кратчайших расстояний между всеми парами вершин, либо сообщение о том, что в графе существует цикл отрицательной длины.
В этом алгоритме используется метод '''изменения веса''' (англ. ''reweighting''). Суть его заключается в том, что для заданного графа <tex> G </tex> строится новая весовая функция <tex> \omega_\varphi </tex>, неотрицательная для всех ребер графа <tex> G </tex> и сохраняющая кратчайшие пути. Такая весовая функция строится с помощью так называемой '''[[Амортизационный_анализ#.D0.9C.D0.B5.D1.82.D0.BE.D0.B4_.D0.BF.D0.BE.D1.82.D0.B5.D0.BD.D1.86.D0.B8.D0.B0.D0.BB.D0.BE.D0.B2|потенциальной''' ]] функции.
{{Определение|definition=Пусть <tex> \varphi : V \rightarrow \mathbb R </tex> - произвольное отображение из множества вершин в вещественные числа. Тогда новой весовой функцией будет <tex> \omega_\varphi(u, v) = \omega(u, v) + \varphi(u) - \varphi(v) </tex>.}}
Такая потенциальная функция строится при помощи добавлении фиктивной вершины в <tex> G </tex>, из которой проведены ребра нулевого веса во все остальные вершины и запуском [[Алгоритм Форда-Беллмана|алгоритма Форда-Беллмана ]] из нее. На этом же этапе мы сможем обнаружить наличие отрицательного цикла в графе.
Теперь, когда мы знаем, что веса всех ребер неотрицательны, и кратчайшие пути сохранятся, можно запустить [[Алгоритм Дейкстры|алгоритм Дейкстры ]] из каждой вершины и таким образом найти кратчайшие расстояния между всеми парами вершин.
=== Сохранение кратчайших путей ===
|proof=
:Рассмотрим путь <tex>P: \;u_0 \rightarrow u_1 \rightarrow u_2 \rightarrow ... \ldots \rightarrow u_k </tex>
:Его вес с новой весовой функцией равен <tex>\omega_\varphi(P) = \omega_\varphi(u_0u_1) + \omega_\varphi(u_1u_2) + ... \ldots + \omega_\varphi(u_{k-1}u_k) </tex>.
:Вставим определение функции <tex> \omega_\varphi : \omega_\varphi(P) = \varphi(u_0) + \omega(u_0u_1) - \varphi(u_1) + ... \ldots + \varphi(u_{k-1}) + \omega(u_{k-1}u_k) - \varphi(u_k) </tex>
:Заметим, что потенциалы все промежуточных вершин в пути сократятся. <tex> \omega_\varphi(P) = \varphi(u_0) + \omega(P) - \varphi(u_k)</tex>
|statement=
В графе <tex>G</tex> нет отрицательных циклов <tex>\Leftrightarrow</tex> существует потенциальная функция <tex> \phi:\; \forall uv \in E\; \omega_\varphi(uv) \ge geqslant 0 </tex>
|proof=
<tex>\Leftarrow </tex>: Рассмотрим произвольный <tex>C</tex> - цикл в графе <tex>G</tex>
:По лемме, его вес равен <tex> \omega(C) = \omega_\varphi(C) - \varphi(u_0) - \varphi(u_0) = \omega_\varphi(C) \ge geqslant 0</tex>
<tex>\Rightarrow </tex>: Добавим фиктивную вершину <tex>s</tex> в граф, а также ребра <tex> s \to u </tex> весом <tex> 0 </tex> для всех <tex> u </tex>.
:Обозначим <tex>\delta(u,v)</tex> как минимальное расстояние между вершинами <tex>u,\; v</tex>., введем потенциальную функцию <tex> \phi </tex>
:Введем потенциальную функцию <tex> \phi </tex> следующим образом: <tex>\phi(u) = \delta(s,u)</tex>
:Рассмотрим вес произвольного ребра <tex> uv \in E </tex>: <tex>\omega_\phi(uv) = \phi(u) + \omega(uv) - \phi(v) = \delta(s, u) + \omega(uv) - \delta(s, v)</tex>.
:Поскольку <tex>\delta(s, u) + \omega(uv) </tex> {{---}} вес какого-то пути <tex> s \rightsquigarrow v </tex>, а <tex> \delta(s, v) </tex> {{---}} вес кратчайшего пути <tex> s \rightsquigarrow v</tex>, то <tex> \delta(s, u) + \omega(uv) \ge geqslant \delta(s, v) \Rightarrow \delta(s, u) + w\omega(uv) - \delta(s, v) = \omega_\varphi(uv) \ge geqslant 0 </tex>.
}}
=== Псевдокод ===
Алгоритм Джонсона Предварительно построим граф Строится граф <tex>G' = (V',\;E')</tex>, где <tex>V' = V \cup \{s\}</tex>, для некоторой новой вершины <tex>s \not\in V</tex>, а <tex>E' = E \cup \{(s,\;v): \omega(s, v) = 0,\ v \in V \}</tex> '''function''' Johnson(G): '''int[][]''' '''if''' Bellman_FordBellmanFord<tex>(G',\;\omega,\;s)</tex> == FALSE''false'' print "Входной граф содержит цикл с отрицательным весом" '''thenreturn''' out <tex>\varnothing< «Входной граф содержит цикл с отрицательным весом»/tex> '''else''' '''for''' для каждой <tex>v \in V'</tex> '''do''' присвоить величине <tex>\varphi(v)</tex> значение = <tex>\delta(s,\;v)</tex><font color = green>// <tex>\delta(s, вычисленное \;v)</tex> вычислено алгоритмом Беллмана — Форда</font> '''for''' для каждого ребра <tex>(u,\;v) \in E'</tex> '''do''' <tex>\omega_\varphi(u,\;v) \leftarrow </tex> = <tex> \omega(u,\;v) + \varphi(u) - \varphi(v)</tex> '''for''' для каждой вершины <tex>u \in V</tex> '''do''' вычисление с помощью алгоритма Дейкстры Dijkstra<tex>(G,\;\omega_\varphi,\;u)</tex> величин <tex>\delta_\varphi(u,\;v)</tex> для всех вершин <tex>v \in V</tex> '''for''' для каждой вершины <tex>v \in V</tex> '''do''' <tex>d_{uv} \leftarrow \delta_\varphi(u,\;v) + \varphi(v) - \varphi(u)</tex> '''return''' <tex>d</tex>
Итого, в начале алгоритм Форда-Беллмана либо строит потенциальную функцию такую, что после перевзвешивания все веса ребер будут неотрицательны, либо выдает сообщение о том, что в графе присутствует отрицательный цикл.
== Сложность ==
Алгоритм Джонсона работает за <tex>O(VE + VD)</tex>, где <tex>O(D)</tex> - время работы [[Алгоритм Дейкстры| алгоритма Дейкстры]]. Если в алгоритме Дейкстры неубывающая очередь с приоритетами реализована в виде [[Фибоначчиевы кучи| фибоначчиевой кучи]], то время работы алгоритма Джонсона есть <tex>O(V^2\log V + V E)</tex>. В случае реализации очереди с приоритетами в виде двоичной кучи время работы равно <tex>O(V E \log V)</tex>.
== См. также ==
* [[Алгоритм Форда-Беллмана]]
* [[Алгоритм Флойда]]
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-paths/johnson-2001 Визуализатор алгоритма]
== Литература Источники информации ==
* ''Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р.'' Алгоритмы: построение и анализ. 2-е изд. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2007. — С. 1296.
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-paths/johnson-2001 Визуализатор алгоритма]
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Кратчайшие пути в графах ]]
81
правка

Навигация