Изменения
Нет описания правки
|id = def1
|definition =
'''Дисперсией''' [[Дискретная случайная величина|случайной величины]] (англ. ''variance'') называется математическое ожидание квадрата отклонения этой случайной величины от ее математического ожидания: <tex>D \xi = E(\xi -E\xi)^2 </tex>, где <tex>\xi</tex> {{- --}} случайная величина, а <tex>E</tex> {{--- }} символ, обозначающий [[Дискретная случайная величина#Математическое ожидание случайной величины|математическое ожидание]]}}
Дисперсия характеризует разброс [[Дискретная случайная величина|случайной величины]] вокруг ее [[Дискретная случайная величина#Математическое ожидание случайной величины|математического ожидания]].
{{Теорема
|statement=
Если <tex>\xi</tex> и <tex>\eta</tex> {{- --}} независимые случайные величины, то: <tex>D(\xi + \eta) = D\xi + D\eta</tex>
|proof=
* Из определения:
: <tex> = E(\xi - E\xi)^2 + 2E((\xi - E(\xi)(\eta - E\eta)) + E(\eta - E\eta)^2 = D\xi + D\eta + 2(E\xi\eta - E\xi E\eta))</tex>
* При этом, <tex>E\xi\eta - E\xi E\eta = 0</tex>, так как <tex>\xi</tex> и <tex>\eta</tex> {{- --}} независимые случайные величины.
:Действительно,
* Дисперсия суммы двух случайных величин равна:
*: <tex>\! D(\xi \pm \psi) = D\xi + D\psi \pm 2\,\text{Cov}(\xi, \psi)</tex>, где <tex>\! \text{Cov}(\xi, \psi)</tex> {{---}} их [[Ковариация случайных величин|ковариация]];
* <tex>D (a\xi) = a^2D\xi</tex>, где <tex>a</tex> {{- --}} константа. В частности, <tex>D(-\xi) = D\xi;</tex>* <tex>D(\xi+b) = D\xi</tex>, где <tex>b</tex> {{--- }} константа.
== Пример ==
Рассмотрим простой пример вычисления [[Дискретная случайная величина#Математическое ожидание случайной величины|математического ожидания]] и дисперсии.
