Классы NP, coNP, Σ₁, Π₁

Определения, связь Σ₁ и NP

Определение:

[math]\mathrm{NP}=\!\!\bigcup\limits_{p(n) \in poly}\!\!\operatorname{NTIME}(p(n))[/math].

То есть [math]\mathrm{NP}[/math] — это множество языков, разрешимых недетерминированной программой за полиномиальное время.

Определение:

[math]\mathrm{coNP} = \{L \bigm| \overline{L} \in \mathrm{NP}\}[/math].

То есть [math]\mathrm{coNP}[/math] — это множество языков, дополнение к которым лежит в [math]\mathrm{NP}[/math].

Определение:

[math]\mathrm{\Sigma_1}=\{L\bigm|\exists R(x,y)\in \tilde{\mathrm{P}}, p(n) \in poly : x\in L\Leftrightarrow\exists y : |y|\leqslant p(|x|), R(x,y)=1\}[/math].

Нестрого говоря, [math]\mathrm{\Sigma_1}[/math] — это множество языков, для которых существует работающая за полиномиальное время детерминированная программа-верификатор [math]R(x,y)[/math], а для каждого слова из языка (и только для слова из языка) можно предъявить сертификат полиномиальной длины, подтверждающий принадлежность слова языку и проверяемый верификатором.

Определение:

[math]\mathrm{\Pi_1}=\{L\bigm|\exists R(x,y)\in \tilde{\mathrm{P}}, p(n) \in poly : x\in L\Leftrightarrow\forall y : |y|\leqslant p(|x|), R(x,y)=1\}[/math].

То есть [math]\Pi_1[/math] — это множество языков, для которых существует работающая за полиномиальное время детерминированная программа-верификатор [math]R(x,y)[/math], а для каждого слова из языка (и только для слова из языка) нельзя предъявить сертификат длины, ограниченной неким полиномом, опровергающий принадлежность слова языку и проверяемый верификатором. Легко видеть, что [math]\Pi_1[/math] — множество языков, дополнения к которым лежат в [math]\Sigma_1[/math].

Теорема:

[math]\mathrm{\Sigma_1}=\mathrm{NP}[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\Rightarrow \quad(\mathrm{\Sigma_1} \subset \mathrm{NP})[/math]. Пусть [math]L \in \mathrm{\Sigma_1}[/math]. Тогда существуют [math]R(x,y)[/math] и полином [math]p[/math] из определения [math]\mathrm{\Sigma_1}[/math]. Построим недетерминированную программу [math]q(x)[/math], разрешающую [math]L[/math]. [math]q(x)\colon[/math] [math]y = \{0,1\}^{p(|x|)}[/math] return [math]R(x,y)[/math] Если [math]x\in L[/math], то программа сможет «угадать» подходящий сертификат. Если [math]x\notin L[/math], то подходящего сертификата не существует по определению. Таким образом, [math]q[/math] разрешает [math]L[/math], следовательно [math]L\in \mathrm{NP}[/math]. [math]\Leftarrow \quad(\mathrm{NP} \subset \mathrm{\Sigma_1})[/math]. Пусть [math]L\in \mathrm{NP}[/math]. Тогда существует недетерминированная программа [math]q(x)[/math], разрешающая этот язык. Построим верификатор [math]R(x,y)[/math]. В качестве сертификата будем использовать последовательность выборов в программе [math]q[/math], приводящую к допуску слова (такой сертификат имеет полиномиальную длину, поскольку выборов в [math]q[/math] может быть сделано не более, чем время ее работы, то есть не более, чем полином). Верификатор будет аналогичен программе [math]q[/math], только вместо каждого недетерминированного выбора он будет присваивать значение, указанное в сертификате. Если [math]x\in L[/math], то в [math]q[/math] существует последовательность выборов таких, что [math]q(x)=1[/math], следовательно существует и верный сертификат. Если [math]x\notin L[/math], то для любой последовательности выборов [math]q(x)=0[/math], следовательно подходящего сертификата не существует. Таким образом, [math]L \in \mathrm{\Sigma_1}[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Примечание: определение [math]\mathrm{\Sigma_1}[/math] часто называют также «определением [math]\mathrm{NP}[/math] на языке сертификатов», а [math]\Pi_1[/math], соответственно, «определением [math]\mathrm{coNP}[/math] на языке сертификатов».

Свойства

Теорема:

Пусть [math]L_1,L_2\in \mathrm{NP}[/math]. Тогда: [math]L_1\cap L_2\in \mathrm{NP}[/math]. [math]L_1\cup L_2\in \mathrm{NP}[/math]. [math]L_1L_2\in \mathrm{NP}[/math]. [math]L_1^*\in \mathrm{NP}[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]p[/math] разрешает [math]L_1[/math], а [math]q[/math] разрешает [math]L_2[/math]. 1. Построим программу [math]r[/math], разрешающую [math]L_1\cap L_2[/math]: [math]r(x)\colon[/math] return [math]p(x)[/math] and [math]q(x)[/math] 2. Построим программу [math]r[/math], разрешающую [math]L_1\cup L_2[/math]: [math]r(x)\colon[/math] return [math]p(x)[/math] or [math]q(x)[/math] 3. Построим программу [math]r[/math], разрешающую [math]L_1L_2[/math]: [math]r(x)\colon[/math] [math]n = |x|[/math] [math]mid \gets?\ \{1 \mathinner{\ldotp\ldotp} n\}[/math] return [math]p(x[1 \mathinner{\ldotp\ldotp} mid])[/math] and [math]q(x[mid+1 \mathinner{\ldotp\ldotp} n])[/math] 4. Построим программу [math]r[/math], разрешающую [math]L_1^*[/math]: [math]r(x)\colon[/math] [math]n = |x|[/math] [math]prev = 1[/math] do [math]cur \gets?\ \{prev \mathinner{\ldotp\ldotp} n\}[/math] if not [math]p(x[prev \mathinner{\ldotp\ldotp} cur])[/math] return false [math]prev = cur + 1[/math] while [math]cur \ne n[/math] return true Цикл совершит не более [math]n[/math] итераций, т.к. на каждой итерации левая граница диапазона увеличивается как минимум на 1.

[math]\triangleleft[/math]

Примеры языков из NP

Задача о раскраске вершин графа в [math]k[/math] цветов

Переформулируем задачу в терминах принадлежности языку: пусть [math] L = \{ \langle G, k \rangle \mid [/math]  вершины [math]G[/math] можно раскрасить в [math]k[/math] цветов [math]\}[/math].

Этот язык разрешается следующей недетерминированной программой за полиномиальное относительно числа вершин и рёбер время:

[math]r(\langle G, k \rangle)\colon[/math]
  [math]n = |V(G)|[/math]
  [math]c \gets?\ \{ 1, \dotsc, k \} ^ n[/math]
  for [math]uv[/math] in [math]E(G)[/math]
    if [math]c[u][/math] == [math]c[v][/math]
      return false
  return true

Проблема нахождения гамильтонова цикла

[math]r(G)\colon[/math]
  n = [math]|V(G)|[/math]
  p [math]\gets? V(G) ^ n[/math]
  for i = 1 to n
    if v[i] not in p
      return false
  p[n + 1] = p[1]
  for i = 1 to n
    if [math]p[i]p[i + 1] \notin E(G)[/math]
      return false
  return true

Задача о клике

[math]r(G)\colon[/math]
  n = [math]|V(G)|[/math]
  c [math]\gets? \{ 0, 1 \} ^ n[/math]
  for [math]u[/math] in [math]V(G)[/math]
    for [math]v[/math] in [math]V(G)[/math]
      if [math]u \ne v[/math] and [math]c[u][/math] and [math]c[v][/math] and [math]uv \notin E(G)[/math]
        return false
  return true

Все эти языки также являются [math]\mathrm{NP}[/math]-полными. По теореме Ладнера, если [math]\mathrm{P \ne NP}[/math], то существует язык из [math]\mathrm{NP}[/math], не являющийся [math]\mathrm{NP}[/math]-полным.

Примеры языков из coNP

Дополнение к задаче о сумме подмножеств

Языком этой задачи являются такие множества целых чисел, что сумма любого их непустого подмножества ненулевая. Этот язык является дополнением языка таких кортежей целых чисел, что какое-то их непустое подмножество имеет сумму ноль, разрешаемого за полиномиальное время следующей программой:

[math]r(S)\colon[/math]
  [math]Z \gets? \{ 0, 1 \}^{|S|}[/math]
  if [math]Z = 0^{|S|}[/math] or [math]\sum_{i=0}^{|S|} S[i] \cdot Z[i] \ne 0[/math]
    return false
  else
    return true
  

TAUT

Требуется определить, является ли заданная булева формула тавтологией. К этой задаче тривиально сводится дополнение к [math]\mathrm{SAT}[/math]: если отрицание формулы невыполнимо, то она является тавтологией, и наоборот.

Связь P и NP

Очевидно, что [math]\mathrm{P} \subseteq \mathrm{NP}[/math], так как детерминированные программы можно рассматривать как недетерминированные, в которых не используется недетерминированный выбор. Вопрос о равенстве данных классов до сих пор остается открытым. Были осуществлены различные подходы к разрешению этой задачи: попытка найти редкий [math]\mathrm{NP}[/math]-полный язык; было доказано, что доказательство должно быть нерелятивизующимся; различные попытки найти полиномиальные решения для задач из [math]\mathrm{NPC}[/math]:

• «решение» 3SAT за полиномиальное время;
• задача о коммивояжере.

Некоторые задачи из [math]\mathrm{P}[/math] очень похожи на задачи из [math]\mathrm{NP}[/math]. В каждой из приведенных ниже пар задач первая разрешима за полиномиальное время, а вторая является [math]\mathrm{NP}[/math]-полной. При этом различие между задачами кажется совершенно незначительным.

• Поиск самых коротких и самых длинных простых путей;
• Эйлеров и гамильтонов циклы;
• 2-CNF и 3-CNF выполнимость.

См. также

• Недетерминированные вычисления