Opij1sumwu

[math] O \mid p_{i,j} = 1 \mid \sum w_{i} U_{i} [/math]

Задача:

Дано [math]m[/math] одинаковых станков, которые работают параллельно, и [math]n[/math] работ, которые необходимо выполнить в произвольном порядке на всех станках. Любая работа на любом станке выполняется за единицу времени. Для каждой работы есть время окончания [math]d_i[/math] — время, до которого она должна быть выполнена. Требуется минимизировать [math]\sum w_{i} U_{i}[/math], то есть суммарный вес всех просроченных работ.

Алгоритм

Идея алгоритма состоит в том, что на шаге [math]k[/math] строим оптимальное решение для первых [math]k[/math] работ с наименьшими дедлайнами.

Пусть работы отсортированы в порядке возрастания дедлайнов. Пусть мы уже рассмотрели первые [math]k[/math] работ, тогда множество [math]S_k[/math] содержит только те работы, которые мы успеваем выполнить в порядке возрастания дедлайнов при оптимальном расписании. Рассмотрим работу [math]k+1[/math]. Если мы ее успеваем выполнить данную работу, до наступления дедлайна, то добавим в множество [math]S_{k}[/math] и получим множество [math]S_{k+1}[/math]. Если же [math]k+1[/math] работу мы не успеваем выполнить до дедлайна, то найдем в [math]S_k[/math] работу [math]l[/math] c наименьшим весом [math]w_{l}[/math] и заменим ее на работу [math]k+1[/math].

Таким образом, рассмотрев все работы, мы получим [math]S_{n}[/math] — множество работ, которые мы успеваем выполнить до наступления их дедлайнов, причем вес просроченных работ будет наименьшим. От порядка выполнения просроченных работ ничего не зависит, поэтому расположить в расписании их можно произвольным образом.

Псевдокод

Предполагаем, что перед началом выполнения алгоритма выполняется, что [math]m \leqslant d_{1} \leqslant d_{2} \leqslant ... \leqslant d_{n}[/math]. Все работы, дедлайн которых меньше [math]m[/math], мы в любом случае выполнить без штрафа не успеем, поэтому их изначально можно отнести к просроченным.

[math]S[/math] — множество непросроченных работ, [math]Check[/math] — функция, решающая задачу [math] O \mid p_{i,j} = 1, d_i \mid - [/math].

S =  [math]\varnothing[/math]
for i = 1 to n
   S = [math] S \cup \{i\} [/math]
   if not Check(s) :
       найти такое [math]k[/math], что [math]w_{k} = \min \{ w_{j} \mid j \in S\}[/math]
       S = [math]S \setminus \{k\}[/math]

Доказательство корректности

Утверждение:

Алгоритм строит корректное расписание.

[math]\triangleright[/math]

Если мы успеваем выполнить очередную работу, то, очевидно, от ее добавления, расписание не может стать некорректным. В противном случае мы пытаемся заменить одну работу из множества [math] S [/math] на текущую. Но это так же не может сделать наше расписание некорректным. Это следует из того, что мы рассматриваем работы в порядке неуменьшениях их дедлайнов. Пусть мы заменяем работу [math] k [/math] на работу [math] i [/math]. Но [math] d_{k} \leqslant d_{i} [/math], следовательно, если мы успевали выполнить работу [math] k [/math], то успеем выполнить и работу [math] i [/math].

[math]\triangleleft[/math]

Время работы

Время работы зависит от того, на сколько быстро мы будем добавлять, находить и удалять работы из множества [math]S[/math]. В качестве [math]S[/math] можно использовать двоичную кучу или красно-черное дерево и тогда все нужные нам операции будут выполняться за [math]O(\log n)[/math]. Тогда время алгоритма будет [math]O(n*(\log n + T(Check)))[/math]. Так как [math]T(Check)=O(nm)[/math], то время алгоритма [math]O(n^2*m)[/math]