Изменения

Пусть <tex>h^S</tex> {{---}} вектор соответствующий множеству <tex>S</tex> из задачи [[Opij1di|<tex> O \mid p_{i,j} = 1, d_i \mid - </tex>]]. Тогда, для добавления работы <tex>i</tex> в множество <tex>S</tex> должно выполняться неравенство: <tex>m\cdot (d_i-m)-(km-\sum\limits_{j=1}^m {h^S(d_i-m+j)})+x(d_i) \geqslant m</tex>, где <tex>k=|S|</tex> и <tex>x(d_i)</tex> {{---}} количество периодов времени <tex>t</tex> со свойствами: <tex>d_i-m+1 \leqslant t \leqslant d_i</tex> и <tex>h^S(t) < m</tex>. Чтобы проверить это неравенство, нам нужно посчитать <tex>m</tex> чисел <tex>h^S(t)</tex>, <tex>t=d_i-m+1, \ldots, d_i</tex>. Для этого определим переменные:

h^S(d_i-m+j) & j \in \{1,\ldots ,m\} \\

0 & j \notin \{1, \ldots , m\} \\

0 & otherwise \\

Тогда можно заметить, что <tex>x(d_i)=\sum\limits_{j=1}^m {l_j}</tex>. Следовательно можно упростить исходное неравенство: <tex>m\cdot (d_i-m)-(km-\sum\limits_{j=1}^m {k_j})+\sum\limits_{j=1}^m {l_j} \geqslant m</tex> или <tex>m\cdot (d_i-m-k)+ \sum\limits_{j=1}^m {(k_j+l_j)} \geqslant m</tex>.

Пусть <tex>p=d_{i+1}-d_i</tex>, тогда определим рекуррентное выражение для <tex>f_i(k,k_1 \ldots , k_m)</tex>:

f_{i+1}(k,k_{1+p},k_{2+p}, \ldots, k_{m+p})+w_i, & m\cdot (d_i-m-k)+ \sum\limits_{j=1}^m {(k_j+l_j)} < m (1)\\

\min(f_{i+1}(k,k_{1+p},k_{2+p}, \ldots ,k_{m+p})+w_i ; f_{i+1}(k+1,k_{1+p}+l_{1+p},k_{2+p}+l_{2+p}, \ldots ,k_{m+p}+l_{m+p})), & m\cdot (d_i-m-k)+ \sum\limits_{j=1}^m {(k_j+l_j)} \geqslant m (2)\\

и начальное условие: <tex>f_{n+1}(k,k_1,\ldots ,k_m)=0 </tex> для <tex>k,k_1,\ldots ,k_m = 0,1,\ldots ,m</tex>.