264
правки
Изменения
Новая страница: «<tex dpi = "200" >1 \mid\mid \sum w_i U_i</tex> {{Задача |definition= Есть один станок и <tex>n</tex> работ. Для каждой раб...»
<tex dpi = "200" >1 \mid\mid \sum w_i U_i</tex>
{{Задача
|definition= Есть один станок и <tex>n</tex> работ. Для каждой работы заданы время выполнения <tex> p_i,</tex> дедлаин <tex>d_i</tex> и стоимось выполнения этой работы <tex>w_i \geqslant 0</tex>.
Необходим минимизировать <tex>\sum w_i U_i</tex>.
}}
==Решение==
Применим для решения данной задачи [[Динамическое программирование|динамическое программирование]].
Обозначим <tex>T = \sum\limits_{i=1}^n p_i</tex>.
Для всех <tex>t = 0, 1, \ldots, T </tex> и <tex>j = 1, \ldots, n</tex> будем рассчитывать <tex>F_j(t)</tex> {{---}} значение целевой функции, при условии, что были рассмотрены первые <tex>j</tex> работ и общее время выполнения тех из них, что будут закончены вовремя, не превышает времени <tex>t</tex>.
#Если <tex>0 \leqslant t \leqslant d_j </tex> и работа <tex>j</tex> успевает выполниться вовремя в расписании, соответствующем <tex>F_j(t)</tex>, то <tex>F_j(t) = F_{j- 1}(t - p_j)</tex>, иначе <tex>F_j(t) = F_{j- 1}(t) + w_i</tex>.
#Если <tex>t > d_j</tex>, то <tex>F_j(t) = F_{j}(d_j)</tex>, поскольку все работы с номерами <tex>j = 1, \ldots, j</tex>, законченные позже, чем <tex> d_j \geqslant \ldots \geqslant d_1 </tex>, будут выполнены с опозданием.
Отсюда, получим соотношение:
<p>
<tex>
F_j(t) =
\left \{\begin{array}{ll} \min(F_{j-1}(t-p_j), F_{j-1}(t) + w_j), & 0 \leqslant t \leqslant d_j \\
F_j(d_j), & d_j < t < T
\end{array} \right.
</tex>
</p>
В качестве начальных условий следует взять <tex>F_j(t) = \infty </tex> при <tex>t < 0, j = 0,\ldots, n </tex> и <tex>F_0(t) = 0 </tex> при <tex>t \geqslant 0 </tex>.
Ответом на задачу будет <tex>F_n(d_n)</tex>.
Приведенный ниже алгоритм вычисляет <tex>F_j(t)</tex> для <tex>j = 0,\ldots, n </tex> и <tex>t = 0,\ldots, d_j </tex>. За <tex>p_{max}</tex> обозначим самое большое из времен выполнения заданий.
отсортиртировать работы по неубыванию времен дедлайнов <tex>d_i</tex>
<tex>t_1</tex> = <tex>r_1</tex>
'''for''' <tex>t = -p_{max}</tex> '''to''' <tex>-1</tex>
'''for''' <tex>j = 0</tex> '''to''' <tex>n</tex>
F_j(t) = \infty
'''for''' <tex>t = 0</tex> '''to''' <tex>T</tex>
F_0(t) = 0
'''for''' <tex>j = 1</tex> '''to''' <tex>n</tex>
'''for''' <tex>t = 0</tex> '''to''' <tex>d_j</tex>
'''if''' <tex> F_{j-1}(t) + w_j < F_{j-1}(t-p_j) </tex>
<tex> F_j(t) = F_{j-1}(t) + w_j </tex>
'''else'''
<tex> F_j(t) = F_{j-1}(t-p_j) </tex>
'''for''' <tex>t = d_j + 1</tex> '''to''' <tex>T</tex>
<tex> F_j(t) = F_{j}(d_j) </tex>
Время работы данного алгоритма {{---}} <tex>O(n \sum\limits_{i=1}^n p_i)</tex>.
Для того, чтобы найти само расписание, по доказанной ниже лемме, нам достаточно найти множество работ, которые будут выполнены с опозданием. Это может быть сделано следующим способом:
t = d_n
L = \varnothing
'''for''' <tex>j = n</tex> '''downto''' <tex>1</tex>
<tex>t = \min(t, d_j)</tex>
'''if''' <tex> F_j(t) = F_{j-1}(t) + w_j </tex>
<tex> L = L \cup \{j\} </tex> </tex>
'''else'''
<tex> t = t - p_j </tex>
==Доказательство корректности и оптимальности==
{{Лемма
|id=lemma1
|statement= Пусть все работы отсортированы в порядке неубывания дедлайнов <tex>d_i</tex>.
Тогда существует оптимальное расписание вида <tex>i_1, i_2, \ldots, i_s, i_{s+1}, \ldots, i_n </tex>, такое, что <tex>i_1 < i_2 < \ldots < i_s </tex> {{---}} номера работ, которые успеют выполниться вовремя, а <tex>i_{s+1}, \ldots, i_n </tex> {{---}} номера просроченных работ.
|proof= Пусть у нас есть некоторое оптимальное раписание <tex>S</tex>. Получим необходимое нам расписание путем переставления некоторых работ.
#Если работа с номером <tex> i</tex> выполнится в <tex>S</tex> с опозданием, то переставим эту работу в конец. При этом, так как работа просрочна в оптимальном расписании <tex>S</tex>, при такой перестановке не произойдет увеличения целевой функции.
#Если работы с номерами <tex>i</tex> и <tex>j</tex> в расписании <tex>S</tex> выполняются вовремя, но при этом <tex>d_i < d_j </tex>, но <tex>j</tex> стоит в <tex>S</tex> раньше <tex>i</tex>. Тогда переставим работу с номером <tex>j</tex> так, чтобы она выполнялась после работы <tex>i</tex>. Таким образом, каждая из работ, находившихся в <tex>S</tex> между <tex>j</tex> и <tex>i</tex>, включая <tex>i</tex>, будет выполняться в новом расписании на <tex>p_j</tex> единиц времени раньше. Эта перестановка не повлияет на оптимальнось расписания:
#*Ни одна из работ, котарая успевала выполниться в расписании <tex>S</tex>, не попадет в список просроченных работ при переставлении её на более раннее время.
#*Число работ, не успевающих выполниться вовремя, не может уменьшится, иначе бы возникло противоречие в исходным выбором <tex>S</tex>, как оптимального решения.
#*Поскольку <tex>d_i < d_j </tex> и работа <tex>i</tex> будет заканчиваться на <tex>p_j</tex> единиц времени раньше, то стоящая сразу послее нее работа <tex>j</tex> тоже будет успевать выполниться.
}}
==См. также ==
* [[Классификация задач]]
* [[1ripipsumwu|<tex> 1 \mid r_i,p_i=p \mid \sum w_i U_i</tex>]]
* [[1pi1sumwu|<tex>1 \mid p_{i} = 1 \mid \sum w_{i}U_{i}</tex>]]
* [[R2Cmax|<tex>R2 \mid \mid C_{max}</tex>]]
== Источники информации ==
* P. Brucker. Scheduling Algorithms (2006), 5th edition, стр. 26 - 28
{{Задача
|definition= Есть один станок и <tex>n</tex> работ. Для каждой работы заданы время выполнения <tex> p_i,</tex> дедлаин <tex>d_i</tex> и стоимось выполнения этой работы <tex>w_i \geqslant 0</tex>.
Необходим минимизировать <tex>\sum w_i U_i</tex>.
}}
==Решение==
Применим для решения данной задачи [[Динамическое программирование|динамическое программирование]].
Обозначим <tex>T = \sum\limits_{i=1}^n p_i</tex>.
Для всех <tex>t = 0, 1, \ldots, T </tex> и <tex>j = 1, \ldots, n</tex> будем рассчитывать <tex>F_j(t)</tex> {{---}} значение целевой функции, при условии, что были рассмотрены первые <tex>j</tex> работ и общее время выполнения тех из них, что будут закончены вовремя, не превышает времени <tex>t</tex>.
#Если <tex>0 \leqslant t \leqslant d_j </tex> и работа <tex>j</tex> успевает выполниться вовремя в расписании, соответствующем <tex>F_j(t)</tex>, то <tex>F_j(t) = F_{j- 1}(t - p_j)</tex>, иначе <tex>F_j(t) = F_{j- 1}(t) + w_i</tex>.
#Если <tex>t > d_j</tex>, то <tex>F_j(t) = F_{j}(d_j)</tex>, поскольку все работы с номерами <tex>j = 1, \ldots, j</tex>, законченные позже, чем <tex> d_j \geqslant \ldots \geqslant d_1 </tex>, будут выполнены с опозданием.
Отсюда, получим соотношение:
<p>
<tex>
F_j(t) =
\left \{\begin{array}{ll} \min(F_{j-1}(t-p_j), F_{j-1}(t) + w_j), & 0 \leqslant t \leqslant d_j \\
F_j(d_j), & d_j < t < T
\end{array} \right.
</tex>
</p>
В качестве начальных условий следует взять <tex>F_j(t) = \infty </tex> при <tex>t < 0, j = 0,\ldots, n </tex> и <tex>F_0(t) = 0 </tex> при <tex>t \geqslant 0 </tex>.
Ответом на задачу будет <tex>F_n(d_n)</tex>.
Приведенный ниже алгоритм вычисляет <tex>F_j(t)</tex> для <tex>j = 0,\ldots, n </tex> и <tex>t = 0,\ldots, d_j </tex>. За <tex>p_{max}</tex> обозначим самое большое из времен выполнения заданий.
отсортиртировать работы по неубыванию времен дедлайнов <tex>d_i</tex>
<tex>t_1</tex> = <tex>r_1</tex>
'''for''' <tex>t = -p_{max}</tex> '''to''' <tex>-1</tex>
'''for''' <tex>j = 0</tex> '''to''' <tex>n</tex>
F_j(t) = \infty
'''for''' <tex>t = 0</tex> '''to''' <tex>T</tex>
F_0(t) = 0
'''for''' <tex>j = 1</tex> '''to''' <tex>n</tex>
'''for''' <tex>t = 0</tex> '''to''' <tex>d_j</tex>
'''if''' <tex> F_{j-1}(t) + w_j < F_{j-1}(t-p_j) </tex>
<tex> F_j(t) = F_{j-1}(t) + w_j </tex>
'''else'''
<tex> F_j(t) = F_{j-1}(t-p_j) </tex>
'''for''' <tex>t = d_j + 1</tex> '''to''' <tex>T</tex>
<tex> F_j(t) = F_{j}(d_j) </tex>
Время работы данного алгоритма {{---}} <tex>O(n \sum\limits_{i=1}^n p_i)</tex>.
Для того, чтобы найти само расписание, по доказанной ниже лемме, нам достаточно найти множество работ, которые будут выполнены с опозданием. Это может быть сделано следующим способом:
t = d_n
L = \varnothing
'''for''' <tex>j = n</tex> '''downto''' <tex>1</tex>
<tex>t = \min(t, d_j)</tex>
'''if''' <tex> F_j(t) = F_{j-1}(t) + w_j </tex>
<tex> L = L \cup \{j\} </tex> </tex>
'''else'''
<tex> t = t - p_j </tex>
==Доказательство корректности и оптимальности==
{{Лемма
|id=lemma1
|statement= Пусть все работы отсортированы в порядке неубывания дедлайнов <tex>d_i</tex>.
Тогда существует оптимальное расписание вида <tex>i_1, i_2, \ldots, i_s, i_{s+1}, \ldots, i_n </tex>, такое, что <tex>i_1 < i_2 < \ldots < i_s </tex> {{---}} номера работ, которые успеют выполниться вовремя, а <tex>i_{s+1}, \ldots, i_n </tex> {{---}} номера просроченных работ.
|proof= Пусть у нас есть некоторое оптимальное раписание <tex>S</tex>. Получим необходимое нам расписание путем переставления некоторых работ.
#Если работа с номером <tex> i</tex> выполнится в <tex>S</tex> с опозданием, то переставим эту работу в конец. При этом, так как работа просрочна в оптимальном расписании <tex>S</tex>, при такой перестановке не произойдет увеличения целевой функции.
#Если работы с номерами <tex>i</tex> и <tex>j</tex> в расписании <tex>S</tex> выполняются вовремя, но при этом <tex>d_i < d_j </tex>, но <tex>j</tex> стоит в <tex>S</tex> раньше <tex>i</tex>. Тогда переставим работу с номером <tex>j</tex> так, чтобы она выполнялась после работы <tex>i</tex>. Таким образом, каждая из работ, находившихся в <tex>S</tex> между <tex>j</tex> и <tex>i</tex>, включая <tex>i</tex>, будет выполняться в новом расписании на <tex>p_j</tex> единиц времени раньше. Эта перестановка не повлияет на оптимальнось расписания:
#*Ни одна из работ, котарая успевала выполниться в расписании <tex>S</tex>, не попадет в список просроченных работ при переставлении её на более раннее время.
#*Число работ, не успевающих выполниться вовремя, не может уменьшится, иначе бы возникло противоречие в исходным выбором <tex>S</tex>, как оптимального решения.
#*Поскольку <tex>d_i < d_j </tex> и работа <tex>i</tex> будет заканчиваться на <tex>p_j</tex> единиц времени раньше, то стоящая сразу послее нее работа <tex>j</tex> тоже будет успевать выполниться.
}}
==См. также ==
* [[Классификация задач]]
* [[1ripipsumwu|<tex> 1 \mid r_i,p_i=p \mid \sum w_i U_i</tex>]]
* [[1pi1sumwu|<tex>1 \mid p_{i} = 1 \mid \sum w_{i}U_{i}</tex>]]
* [[R2Cmax|<tex>R2 \mid \mid C_{max}</tex>]]
== Источники информации ==
* P. Brucker. Scheduling Algorithms (2006), 5th edition, стр. 26 - 28
