264
правки
Изменения
→Пример 2
А именно, покажем, что решение задачи состоит в сопоставлении <tex>n</tex> различным заданиям различных времен начала выполнения работы. Если сопоставляем работе <tex>i</tex> время <tex>t</tex>, то вклад в целевую функцию будет <tex> f_i(t + 1) </tex>.
Далее будет показано, что при построении оптимального расписания нам нужно будет рассмотреть всего <tex>n</tex> различных времен начала работ. Следовательно, подобная задача может быть решена за <tex>\mathcal{O}(n^3)</tex>.
Поскольку <tex>f_i</tex> {{---}} монотонно неубывающие функции, то это значит, что в оптимальном расписании работы должны начинать исполняться как можно раньше. Первые <tex>n</tex> самых ранних для начала исполнения времен <tex>t_i</tex> могут быть вычислены следующим алгоритмом :
}}
==Частный случай==
В случае, когда все времена появлений заданий различны, оптимальное решение может быть посчитано за <tex>\mathcal{O}(n\log n) </tex>.
Поскольку любое задание выполняется за единицу времени, а все функции <tex>f_i</tex> являются неубывающими, то будет достаточно отсортировать работы по возрастанию времен появления и выполнять каждую работу как только она появится. Поскольку все <tex>r_i</tex> различны, то промежутки выполнения работ не будут пересекаться {{---}} расписание будет корректным.
<tex>r_4 = 1, f_4 = 2^t </tex>
Отсортируем задания по неубыванию <tex>r_i</tex>, а дальше будем выполнять задания их по мере появления. В полученном расписании работы будут идти в порядке <tex>4, 2, 1, 3</tex> и давать в ответе <tex>2^{1 + 1} + (2 + 1)^2 + 5(3 + 1) + (4 + 1) + 4 = 42 </tex>, что является оптимальным результатом.
===Пример 2===
Пусть у нас есть три задания, и каждое из них имеет время появления <tex>r_i = 0.</tex> Заданы функции <tex>f_i</tex>:
<tex>f_1(t) = t^2 </tex>
Поступить как в предыдущем примере и просто отсортировать работы мы теперь не можем {{---}} не понятно, в каком порядке сортировать задания с одинаковым временем появления.
Тогда нучно нужно по приведенному в начале алгоритму посчитать времена, когда мы можем начать выполнять задания. В результате получим: <tex>t_1 = 0, t_2 = 1, t_3 = 2</tex>.
Тогда, согласно алгоритму, задача сведется к следующей задаче о назначениях:
</tex>
В результате будет работы [[Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях | Венгерского алгоритма ]] будет выбран порядок работ <tex>2, 3, 1</tex>, что даст лучший результат {{---}} <tex>19</tex>.
На этом примере хорошо видно, что решение, выбирающие в каждый момент времени <tex>t_i</tex> несделанную работу с минимальным значением <tex>f_i(t_i + 1) </tex> будет давать плохой результат.
===Пример 3===
<tex>r_4 = 5, f_3(t) = t + 2 </tex>
Работы уже отсортированы, поэтому по приведенному в начале алгоритму посчитаем времена <tex>t_i</tex> для выполнения заданиязаданий. Получим: <tex>t_1 = 0, t_2 = 1, t_3 = 2, t_4 = 4</tex>.
Таблица, необходимая для решения задачи, будет построена так, что если работа с номером <tex>i</tex> ещё не доступна в момент времени <tex>t_j</tex>, то в соответствующей ячейке будет стоять <tex>\infty</tex>.
В результате будет выбран порядок работ <tex>1, 3, 2, 4</tex>, и все работы выполнятся за <tex>18</tex> единиц времени.
== См. также ==
