Изменения

=Простая задача =Более простые варианты исходной задачи== 

==Задача <tex>=Вариант 1 \mid r_i,p_i = 1 \mid \sum f_i</tex>==<tex dpi = "200"> 1 \mid r_i,p_i = 1 \mid \sum f_i</tex>{{Задача|definition=Дано <tex>n</tex> работ и один станок. Для каждой работы известно её время появления <tex>r_{i}</tex>. Время выполнения всех работ <tex>p_i</tex> равно <tex>1</tex>. Требуется выполнить все работы, чтобы значение <tex>\sum f_{i}</tex> было минимальным, где <tex>f_{i}C_i</tex> {{---}} монотонная функция времени окончания работы <tex>C_{i}</tex> для работ <tex>i = 1, 2, ..., n</tex>.}}

==Описание алгоритма задачи Этот случай простейший. Ответом будет <tex>1 \mid r_i,p_i sum\limits_{k = 1 \mid \sum f_i}^n k</tex>==Нам нужно распределить , так как мы <tex>n</tex> работ в разное раз сложим времяокончания выполнения одной работы. Если мы назначим время Воспользовавшись формулой суммы первых <tex>tn</tex> для работы членов арифметической прогрессии алгоритм <tex>iS_n=\dfrac{a_1+a_n}2 \cdot n</tex> то цена будет работает за <tex>f_iO(t + 1)</tex>. Так как , но если нужно рассмотреть <tex>n</tex> временных промежутковвывести и само расписание, задача может быть решена за время работы будет <tex>O(n^3)</tex>. Функция <tex>f_i</tex> монотонно неубывающая, тогда работы в расписании надо располагать как можно раньше для получения верного решения. <tex>n</tex> временных интервалов <tex>t_i</tex> для <tex>n</tex> работ могут быть получены с помощью следующего алгоритма, где предполагается что работы нумеруются так:

<tex> r_1 \leqslant r_2 \leqslant \ldots \leqslant r_n</tex> ==Псевдокод задачи =Вариант 2===<tex>1 \mid r_i,p_i = 1 \mid \sum f_i</tex>== <tex>t_1 \leftarrow r_1 </tex> '''for''' <tex> i \leftarrow 2</tex> '''to''' <tex>n</tex> '''do''' <tex> t_i \leftarrow </tex> '''max'''<tex>(r_i, \ t_{i-1} - 1)w_i C_i</tex>

==Задача 2==Для верного выполнения просто выставим работы по порядку невозрастания весов, тогда ответом будет <tex dpi = "200"> 1 \mid sum\mid \sum w_i C_i</tex>=limits_{i =Описание алгоритма задачи <tex>1 \mid \mid \sum w_i }^nw_i C_i</tex>==Входные данные для этой задачи: число работ , так как мы <tex>n</tex> и два вектора раз сложим время окончания выполнения одной работы (которое в нашем случае <tex>p_iC_{i-1}+1</tex>, <tex>w_i<) домноженное на вес этой работы. Данный алгоритм корректен по [[Задача_о_минимуме/tex> размера <tex>n<максимуме_скалярного_произведения|теореме о минимуме/tex>максимуме скалярного произведения]], так как мы сопоставляем две последовательности, подходящие под условия теоремы.Пусть в алгоритме задания перечислены так:

Так как [[Сортировка|сортировка]] весов занимает <tex>w_1/p_1 O(n \geqslant w_2/p_2 \geqslant \ldots w_n/p_nlog n)</tex> ==Псевдокод задачи время, то асимптотика времени работы алгорита равна <tex>1 \mid \mid \sum w_i C_i</tex>== <tex> C_0 \leftarrow 0</tex> '''for''' <tex> i O(n + n \leftarrow 1</tex> '''to''' <tex>log n)</tex> '''do''' <tex>C_i \leftarrow C_{i-1} + p_i</tex>.

==Задача 3==<tex dpi = "200"> 1 \mid r_j,p_j = 1 \mid \sum f_j</tex> Вес всех работ <tex>w_i \geqslant 0</tex>Для всех функций <tex>f_1, f_2, \ldots, f_n</tex> выполняются следующие свойства:<tex>f_j</tex> неубывающая функция для <tex>j Основная задача= 1, 2, \ldots, n</tex><tex>f_i - f_j</tex> неубывающая функция для <tex>i, j = 1, 2, \ldots, n</tex> при <tex>i < j </tex> <tex>\sum w_i C_i</tex> являются функцией <tex>f_j(C_j)</tex>, так что по факту решаем задачу <tex>1 \mid r_j,p_j = 1 \mid \sum w_i C_i </tex>==Описание алгоритма задачи <tex>1 \mid r_j,p_j = 1 \mid \sum f_j</tex>==Входные данные для этой задачи: число работ <tex>n</tex> и два вектора <tex>p_i</tex>, <tex>w_i</tex> размера <tex>n</tex>.Пусть в алгоритме задания перечислены так: <tex>w_1/p_1 \geqslant w_2/p_2 \geqslant \ldots w_n/p_n</tex> ==Псевдокод задачи <tex>1 \mid r_j,p_j = 1 \mid \sum f_j</tex>== <tex> C_0 \leftarrow 0</tex> '''for''' <tex> i \leftarrow 1</tex> '''to''' <tex>n</tex> '''do''' <tex>C_i \leftarrow C_{i-1} + p_i</tex>=Основная задача===Описание алгоритма основной задачи==

<li> Выбирать работу <tex>j</tex> из множества невыполненных работ, у которой <tex>r_{i} \le leqslant time</tex>, а значение <tex>w_{i}</tex> максимально.</li>

===Доказательство корректности алгоритма основной задачи===

===Псевдокод основной задачи=== ====Реализация 1==== <tex> S \leftarrow \{1 \dots ldots n\}</tex>

'''if''' <tex> i \in S</tex> '''and''' <tex> r_{i} \leq leqslant \mathtt{time}</tex> '''and''' <tex>w_i \geqslant \max w_\limits_{ij \in S, j = 1 \ldots n} w_j</tex>

==Сложность алгоритма==Множество <tex>S</tex> станет пустым не позже, чем через <tex>n + \max \limits_{i = 1 \ldots n} r_{i}</tex> шагов цикла. Определить максимум в множестве можно за время <tex>O(\log n)</tex>, используя , например, [[:Категория:Приоритетные_очереди|очередь с приоритетами]]. Значит общее время работы алгоритма <tex>O((n + \max \limits_{i = 1 \ldots n} r_{i})\log n)</tex> ====Реализация 2====* <tex>\mathtt{Q}</tex> {{---}} обычная [[Очередь | очередь]], в которой работы изначально располагаются в отсортированном по <tex>r_i</tex> порядке,* <tex>\mathtt{P}</tex> {{---}} [[Приоритетные очереди | приоритетная очередь]] по максимуму.  <tex> \mathtt{time} \leftarrow 1</tex> <tex> \mathtt{answer} \leftarrow 0</tex> '''while''' <tex>\mathtt{Q} \neq \varnothing </tex> '''and''' <tex>\mathtt{P} \neq \varnothing </tex> '''if''' <tex>\mathtt{Q} \neq \varnothing </tex> <tex> j \leftarrow \mathtt{Q.head()}</tex> '''if''' <tex>\mathtt{time} < r_j</tex> <tex>\mathtt{time} \leftarrow r_j</tex> '''while''' <tex> \mathtt{time} \geqslant r_j</tex> <tex>\mathtt{P.insert}(w_j)</tex> <tex>\mathtt{Q.pop()}</tex> '''if''' <tex>\mathtt{Q} = \varnothing </tex> '''break''' '''else''' <tex> j \leftarrow \mathtt{Q.head()}</tex> <tex> \mathtt{Answer} \leftarrow \mathtt{Answer} + \mathtt{time} \cdot \mathtt{P.extractMax()} </tex> <tex> \mathtt{time}\texttt{++}</tex> Данная реализация имеет идею, аналогичную предыдущей: сначала обрабатывать работу с максимальным весом среди всех доступных.В начале работы сортируются по <tex>r_i</tex>, из очереди <tex>\mathtt{Q}</tex> достаётся каждая работа, причём ровно один раз, аналогично для очереди <tex>\mathtt{P}</tex>, поэтому итоговая асимптотика времени работы алгоритма составляет <tex>O(n \log n)</tex>.

== Источники информации ==* P. Brucker. Scheduling Algorithms (2006), 5th edition, стр. 19 - 20* P. Brucker. Scheduling Algorithms (2006), 5th edition, стр. 38-39* P. Brucker. Scheduling Algorithms (2006), 5th edition, стр. 84 - 85* Лазарев А.А., Мусатова Е.Г., Кварацхелия А.Г., Гафаров Е.Р. Пособие по теории расписаний.