Изменения

<div styletex dpi ="background-color: #ABCDEF; font-size: 16px; font-weight: bold; color: #000000; text-align: center; padding: 4px; border-style: solid; border-width: 1px;200">Эта статья находится в разработке!Q \mid pmtn \mid C_{max}</divtex>{{Задача|definition=Дано <includeonlytex>[[Категория: В разработке]]m</includeonlytex> ==Постановка задачи==Есть несколько станков с разной скоростью выполнения работ, работающих параллельно, и <tex>n</tex> работ. Работу на каждом из станков можно прервать Работа может быть прервана в любой момент и продолжить продолжена позжена любой машине.  Цель - выполнить все как можно быстрее. 1. Найдем нижнюю границу времени Необходимо минимизировать время выполнениявсех работ. 2. Составим оптимальное расписание.}}

===Описание алгоритма===Перед выполнением алгоритма, упорядочим все работы по убыванию их времени выполнеиявыполнения:<tex> p_1 \ge geqslant p_2 \ge geqslant p_3... \ldots \geqslant p_n</tex>, а все машины в порядке убывания скоростей: <tex> s_1 \ge geqslant s_2 \ge geqslant s_3 ... \ldots \geqslant s_m</tex>. Введем следующие обозначения: <tex> P_i = p_1 + ... + p_i</tex> <tex> S_j = s_1 + ... + s_j</tex> <tex>i = 1 ... n</tex>, <tex>j = 1 ... m</tex>, <tex> p_i</tex> - время выполнения <tex>i</tex>-ой работы, <tex> s_j</tex> - скорость работы <tex> j </tex>-oй машины.

Необходимое условие для выполнения всех *<tex>P_i = p_1 + \ldots + p_i</tex>, <tex>i = 1 \ldots n</tex> {{---}} сумма первых <tex>i</tex> работ в интервале *<tex>S_j = s_1 + \ldots + s_j</tex>, <tex>j = 1 \ldots m</tex> {{---}} сумма скоростей первых <tex>[0..T]j</tex>:станков

Необходимое условие для выполнения всех работ в интервале <tex> P_n = p_1 + ... + p_n [0 \le s_1T + ... + s_mT = S_mT</tex> или <tex>P_n/S_m \le ldots T]</tex>:

Кроме того, должно выполняться условие <tex>P_j/S_j P_n = p_1 + \ldots + p_n \leqslant s_1T + \le T</tex> для всех <tex> j ldots + s_mT = 1..m - 1 S_mT</tex>, так как это нижняя оценка времени выполнения работ или <tex> J_1...J_j</tex>. Исходя из этого получаем нижнюю границу <tex>C_\dfrac{P_n}{maxS_m}\leqslant T</tex> :

Кроме того, должно выполняться условие <tex>C_\dfrac{P_j}{maxS_j}\leqslant T</tex> = для всех <tex>\max\{\max\limits_{j=1}^{\ldots m-1} {P_j </tex>, так как это нижняя оценка времени выполнения работ <tex> J_1 \over S_j}, ldots J_j</tex>. Исходя из этого получаем нижнюю границу <tex>C_{P_n \over S_m}\max}</tex>:

Перейдем к описанию алгоритма. Будем назвать <tex>Level</tex>C_{max} = \max\left \{\begin{array}{ll} \dfrac{P_n}{S_m} \\\max\limits_{j=1 \ldots m-ом работы <tex> p_i(t) </tex> - невыполненную часть работы <tex> p_i </tex> в момент времени <tex> t 1} \dfrac{P_j}{S_j} \end{array} \right. </tex>

Далее построим расписание, которое достигает нашей оценки Перейдем к описанию алгоритма. Будем назвать <tex>C_\mathrm{maxlevel}</tex>, с помощью -ом работы <tex> p_i(t) </tex> невыполненную часть работы <tex>Levelp_i </tex> в момент времени <tex> t </tex>-алгоритма.

Далее построим расписание, которое достигает нашей оценки <tex>LevelC_{max}</tex>, с помощью <tex>\mathrm{level}</tex> - алгоритм:алгоритма.

===Псевдокод===Функция <tex>t \leftarrow 0 mathrm{level}</tex>принимает на вход два массива — массив с объемами работ и массив скоростей обработки станков, и возвращает вектор четвёрок, где первый элемент является номером станка, второй — номером работы, а два оставшихся время начала и окончания обработки этой работы на этом станке. '''WHILEfunction''' level(p : '''int[n]''', s : '''int[m]''') : '' существуют работы с положительным 'vector<int, int, int, int>''' '''vector<int, int, int, int>''' ans '''int''' t = 0 '''int''' k = n <texfont color=green>level// количество еще не выполненных работ </texfont> Assign sort(tp) <font color=green> // сортируем время обработки работ по убыванию <tex/font>t1 \leftarrow \min sort(s ) <font color=green> t \mid s// сортируем станки по убыванию скоростей </texfont> '''while''' k > - время окончания какой-то работы 0 '''int[]''' to = assign(p, k, m) <texfont color=green> ) // получаем распределение работ по станкам </texfont> <tex Найдем минимальное dt1 отличное от нуля такое, что (p[i] - s[to[i]] * dt1) = 0 Найдем минимальное dt2 такое, что p[i] >t2 \leftarrow \min p[j] и (p[i] - s[to[i]] * dt2 = p[j] - s [to[j]] * dt2) <font color=green> t \mid // то есть такое минимальное время, через которое, </texfont> <font color=green> для некоторых // оставшийся объем каких-нибудь двух работ сравняется <tex/font>i '''int''' dt = min(dt1, dt2) '''for''' j : p_i(t) = 0 '''to''' n - 1 '''if''' p[j] > p_j(t)0 '''if''' to[j] </tex> и \neq </tex> -1 p_i(s) <font color= p_j(s))green> // рассматриваем работы которые обрабатываются в данном распределении</texfont> <tex> ans.push(to[j], j, t \leftarrow \min(t1,t2t + dt) p[j] -= s[to[i]] * dt '''if''' p[j] == 0 k-- t += dt </texfont color=green> //поиск следующего момента времени ,в который нужно будет перераспределить машины/работы</font> Построение расписания '''return''' ans

Функция <tex>Assign\mathrm{assign}</tex> принимает на вход массив с объемами работ и возвращает массив с распределением работ. '''function''' assign(tp : '''int[n]''', k : '''int''', m : '''int'''): '''int[]''' '''int[n]''' to <font color=green> // j работа обрабатывается на to[j] станке </texfont> fill(to, -1) '''set<int>''' s <font color=green> // множество уже распределенных работ </font>: '''int''' i = 0 '''while''' i < m '''and''' i < k Находим первый j такой что p[j] максимальный и s не содержит j s.add(j) m[j] = i++ '''return''' to

<tex>J </tex> - множество работ с положительным <tex>level</tex>===Асимптотика=== <tex>M = \mathrm{M_1,...,M_m\level}</tex> - множество всех станков '''WHILE''' множества <tex>J</tex> и алгоритм вызывает функцию <tex>M</tex> не пустые Найти множество работ <tex>I \subset Jmathrm{assign}(t) </tex>, в самом худшем случае <tex>levelO(n)</tex> которых максималенраз. Функция <tex>r \leftarrow min</tex>mathrm{assign}(|<tex>Mt) </tex>|,|выполняется за <tex>IO(nm)</tex>|) Назначаем . Итоговое время работы из множества <tex>IO(n^2m)</tex> на <tex>r</tex> самых быстрых машин из множества <tex>M</tex> <tex>J \leftarrow J</tex>\<tex>I</tex> Удаляем из множества <tex>M</tex> <tex>r</tex> самых быстрых машин.

===Доказательство корректности алгоритма==={{Теорема|statement=Расписание, построенное данным алгоритмом, является корректным и оптимальным.|proof=Так как нижняя граница <tex>C_{max}</tex>:

<tex>C_{max}</tex> = <tex>\max\left \{\begin{array}{ll} \dfrac{P_n}{S_m} \\\max\limits_{j=1}^{\ldots m-1} \dfrac{P_j \over }{S_j}, \end{P_n \over S_marray}\}right. </tex>

Будем считать, что в начале алгоритма все работы упорядочены, как было сказано ранее: <tex> p_1(0) \ge geqslant p_2(0) \ge ... geqslant \ldots \ge geqslant p_n(0) </tex>. Это утверждение не меняется на протяжении всего выполнения алгоритма, для любого момента времени. Получаем: <tex> p_1(t) \ge geqslant p_2(t) \ge ... geqslant \ldots \ge geqslant p_n(t) </tex>. Докажем что алгоритм составляет расписание в соответствии с этим свойством. Чтобы доказать этот факт, будем считать что в любой момент времени <tex>T</tex> нет простоев машин, когда есть хотя бы одна невыполненная работа. Получаем:

<tex> T(s_1 + ... \ldots + s_m) = p_1 + p_2 + ... \ldots + p_n </tex> или <tex> T = \dfrac{P_n \over }{S_m} </tex>

Допустим хотя бы одна машина простаивает, в момент когда есть невыполненные работы, получим следующее неравенство для времен окончания работ (обозначим далее как <tex> f_i </tex>) на станках <tex>M_1 ... \ldots M_m</tex>, пронумерованных по убыванию скоростей:

<tex> f_1 \ge geqslant f_2 \ge ... geqslant \ge ldots \geqslant f_m </tex>

Предположим, что <tex> f_i < f_{i+1} </tex> для некоторого <tex> 1 \le leqslant i \le leqslant m-1 </tex>. Тогда <tex>Level\mathrm{level}</tex> последней работы, выполнявшейся на станке <tex> M_i </tex> в момент времени <tex> f_i - \varepsilon </tex> (где <tex> \varepsilon > 0</tex> достаточно мал) меньше, чем <tex>Level\mathrm{level}</tex> последней работы на станке <tex> M_{i+1} </tex>. Пришли к противоречию, так как при распределении, работы с наибольшим <tex>\mathrm{level}</tex> выставлялись на самые быстрые станки.

Пусть <tex> T </tex> = <tex> f_1 = f_2 = f_3 = ... \ldots = f_j > f_{j+1}</tex> ,где <tex> j < m </tex>. Чтобы работы завершились в момент времени <tex> T </tex>, необходимо начать их в момент времени 0, поскольку если это не выполняется, то у нас найдется работа <tex> J_i </tex> , которая начинается позже <tex> t = 0 </tex> и заканчивается в <tex> T </tex>. Это означает, что в момент времени <tex> 0 </tex> начинаются как минимум <tex> m </tex> работ. Пусть первые <tex> m </tex> работ стартовали вместе на всех машинах. Мы получаем <tex> p_1(0) \ge geqslant p_2(0) \ge ... geqslant \ldots \ge geqslant p_m(0) \ge geqslant p_i(0) </tex>, из чего следует, что <tex> p_1(T - \varepsilon) \ge ... geqslant \ldots \ge geqslant p_m(T - \varepsilon) \ge geqslant p_i(T - \varepsilon) > 0 </tex> для любого <tex> \varepsilon </tex>, удовлетворяющего условию <tex> 0 \le leqslant \varepsilon < T - t </tex>. Таким образом, до момента времени <tex> T </tex> нет простаивающих машин. Пришли к противоречию. Получаем <tex> T = \dfrac{P_j \over }{S_j} </tex>.}}

===Пример===

Пусть у нас есть <tex>6 </tex> работ и <tex>3 </tex> станка. Покажем работу алгоритма для данного случая. В начальный момент времени начинаем обрабатывать работы с наибольшим временем выполнения <tex>J_1</tex>, <tex>J_2</tex> и <tex>J_3</tex> на станках <tex>M_1</tex>, <tex>M_2</tex> и <tex>M_3</tex> соответственно. В момент времени <tex>T_1</tex> <tex>\mathrm{level}</tex> <tex>1</tex>-ой работы и <tex>2</tex>-ой работы совпадает. С этого момента начинаем обрабатывать работы <tex>J_1</tex> и <tex>J_2</tex> синхронно на станках: <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex>. В момент времени <tex>T_2</tex> работа <tex>J_3</tex> опускается до уровня работы <tex>J_4</tex>.Работы <tex>J_3</tex> и <tex>J_4</tex> выполняем одновременно на одном станке <tex>M_3</tex>. В момент времени <tex>T_3</tex> начинаем выполнять первые четыре работы на всех станках одновременно, далее просто добавятся работы <tex>J_5</tex> и <tex>J_6</tex>, и все работы закончатся одновременно.

В начальный момент времени начинаем обрабатывать работы с наибольшим временем выполнения <tex>J_1-J_3</tex> на станках <tex>M_1-M_3</tex> соответственно==См. В момент времени также==* [[QpmtnSumCi|<tex>T_1Q \mid pmtn \mid \sum C_i</tex> <tex>lvl</tex> 1-ой работы и 2-ой работы совпадает. С этого момента начинаем обрабатывать работы <tex> J_1,J_2</tex> синхронно на станках: <tex>M_1 M_2</tex>. В момент времени <tex>T_2</tex> работа <tex>J_3</tex> опускается до уровня работы <tex>J_4</tex>.Работы <tex> J_3,J_4</tex> выполняем одновременно на одном станке <tex> M_3</tex>. В момент времени <tex>T_3</tex> начинаем выполнять первые четыре работы на всех станках одновременно, далее просто добавятся работы <tex>J_5 J_6</tex> и все работы закончатся одновременно.]]

==Время работыИсточники информации==<tex> Level </tex> * Peter Brucker. «Scheduling Algorithms» {{- алгоритм вызывает функцию <tex> Assign(t) </tex> в самом худшем случае <tex>O(n)</tex> раз--}} «Springer», 2006 г. Функция <tex> Assign(t) </tex> выполняется за <tex>O(nm)</tex>. Итоговое время работы <tex>O(n^2m)</tex>{{---}} 124 {{---}} 129 стр.{{---}} ISBN 978-3-540-69515-8