Слово Фибоначчи

Определение:

Строками Фибоначчи (англ. Fibostring) являются строки над алфавитом [math]\Sigma = \{a, b\}[/math], полученные последовательным применением морфизма [math]h[/math]: [math]h(a) = ab[/math] [math]h(b) = a[/math] к строке [math]s = b[/math], т.е. [math]h^*(b)[/math].

Примеры

Первые несколько строк Фибоначчи:

• [math]f_0 = b[/math]
• [math]f_1 = a[/math]
• [math]f_2 = ab[/math]
• [math]f_3 = aba[/math]
• [math]f_4 = abaab[/math]
• [math]f_5 = abaababa[/math]

Рекуррентное соотношение для строк Фибоначчи

Лемма (1):

Строки Фибоначчи удовлетворяют рекуррентному соотношению [math]f_n = f_{n-1}f_{n-2}, n \geqslant 2[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Доказательство нетрудно получить методом математической индукции. База: При [math]n = 2[/math] равенство очевидно. Переход: Пусть [math]n \gt 2[/math] и [math]f_n = f_{n-1}f_{n-2}[/math]. [math]f_{n+1} = h(f_n) = h(f_{n-1}f_{n-2})[/math]. Так как отображение [math]h[/math] — линейно (т.е. [math]h(xy) = h(x)h(y)[/math]), то можно продолжить равенство: [math]f_{n+1} = h(f_{n-1})h(f_{n-2}) = f_{n}f_{n-1}[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Также можно заметить, что длины строк Фибоначчи совпадают с числами Фибоначчи.

Обобщенная строка Фибоначчи. Связь с задачей о построении [math](\alpha, r)[/math]-исключений

Начнем обобщение идеи строк Фибоначчи следующим образом. Вместо отдельных символов [math]a[/math] и [math]b[/math] будем оперировать двумя произвольными строками [math]x,y \in \Sigma^*[/math]:

• [math]h(x) = xy[/math]
• [math]h(y) = x[/math]

Таким образом "старый" морфизм будет частным случаем "нового" морфизма при [math]x = a[/math] и [math]y = b[/math].

По аналогии можно вычислить [math]h^*(y) = \{y, x, xy, xyx, \dots\}[/math], и, наконец, определить [math]n[/math]-ую обобщенную строку Фибоначчи как:

Определение:

Обобщенная строка Фибоначчи (англ. generalized Fibostring) имеет вид [math]f_n(x,y) = h^n(y)[/math]

Первые несколько обобщенных строк имеют вид:

• [math]f_0(x,y) = y[/math]
• [math]f_1(x,y) = x[/math]
• [math]f_2(x,y)= xy[/math]
• [math]f_3(x,y)= xyx[/math]
• [math]f_4(x,y) = xyxxy[/math]

А также в общем случае:

• [math]f_n(x,y) = f_{n-1}(x,y)f_{n-2}(x,y)[/math]

Определение:

Определим бесконечную обобщенную строку Фибоначчи [math]f_{\infty}(x,y)[/math] (англ. generalized infinite Fibostring) как строку, содержащую все строки [math]f_n(x,y), n \geqslant 0[/math] в качестве префиксов

Поскольку [math]h^n(y) = h^{n-k}(h^k(y))[/math], то [math]f_n(x,y) = h^k(f_{n-k}(x,y)) = f_{n-k}(h^k(x),h^k(y))[/math], и, так как [math]h^k(x) = h^{k+1}(y)[/math], в итоге получаем:

• [math]f_n = f_{n-k}(f_{k+1},f_k)[/math].

Например: [math]f_7 = f_5(f_3, f_2) = (xyx)(xy)(xyx)(xyx)(xy)(xyx)(xy)(xyx)[/math]

Это равенство походит также и для [math]f_{\infty}: f_{\infty} = f_{\infty}(f_{n+1},f_{n}) = f_{n+1}f_n f_{n+1} f_{n+1} f_n f_{n+1} f_n f_{n+1} \dots[/math]

Лемма (2):

Для любого целого [math]n \geqslant 2[/math] выполняется равенство [math]f^2_n = f_{n+1}f_{n-2}[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]f_{n+1}f_{n-2}=f_{n}f_{n-1}f_{n-2}=f_{n}f_{n}[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Лемма (3):

Для любого целого [math]n \geqslant 3[/math] строка [math]f_n[/math] имеет бордеры [math]f_i[/math] для [math]i = n-2, n-4,\dots,2-(n\,\,mod \,\,2)[/math]

Утверждение:

Бесконечная строка Фибоначчи [math]f_{\infty}[/math] является решением задачи построения (2,4)-исключения

См. также

• Слово Туэ-Морса

Источники

• Билл Смит «Методы и алгоритмы вычислений на строках», издательство «Вильямс», 2006 — стр. 100-107