Изменения

|definition='''Строками Фибоначчи ''' (англ. ''Fibostring'') называются строкинад алфавитом <tex>\Sigma = \{x, y\}</tex>, удовлетворяющие следующим условиямполученные последовательным применением морфизма <tex>h</tex>:* <tex>F_0 h(x) = \epsilonxy</tex> * <tex>h(пустая строкаy)= x</tex>к строке <tex>s = y</tex>, т. е. последовательность <tex>f_n(x,y) = h^n(y)</tex>. }} ==Примеры==Первые несколько строк Фибоначчи:  * <tex>F_1 f_0 = by</tex>* <tex>F_2 f_1 = ax</tex>* <tex>F_n f_2 = F_xy</tex>* <tex>f_3 = xyx</tex>* <tex>f_4 = xyxxy</tex>* <tex>f_5 = xyxxyxyx</tex> ==Рекуррентное соотношение для строк Фибоначчи=={{Лемма|about=1|statement= Строки Фибоначчи удовлетворяют рекуррентному соотношению <tex>f_n = f_{n-1}F_f_{n-2}, n \geqslant 2</tex>.|proof=Докажем методом математической индукции по <tex>f_n</tex> . '''База:'''  : При <tex>n = 2</tex> выполняется <tex>f_2=xy=f_1f_0</tex>. '''Переход:'''  :Пусть <tex>n > 2</tex> и <tex>f_n = f_{n-1}f_{n-2}</tex>. :<tex>f_{n+1} = h(f_n) = h(f_{n-1}f_{n-2})</tex>. :Так как отображение <tex>h</tex> {{---}} линейно (т.е. конкатенации <tex>h(xy) = h(x)h(y)</tex>), то можно продолжить равенство::<tex>f_{n+1} = h(f_{n-1})h(f_{n-2}) = f_{n}f_{n-1}</tex>.}} Также можно заметить, что длины строк Фибоначчи совпадают с числами Фибоначчи.  ==Свойства строк Фибоначчи== {{Определение|definition=Определим '''бесконечную обобщенную строку Фибоначчи <tex>f_{\infty}(x,y)</tex>''' (англ. ''generalized infinite Fibostring'') как строку, содержащую все строки <tex>f_n(x,y), n \geqslant 0</tex> в качестве префиксов.}} {{Лемма|about = 2|statement= Для любого целого <tex>k \geqslant 0</tex> выполняется <tex>F_f_n = f_{n-k}(f_{k+1},f_k)</tex>.|proof= <tex>f_n(x,y) = h^n(y) = h^{n-k}(h^k(y))</tex> и  <tex>f_n(x,y) = h^k(f_{n-k}(x,y)) = f_{n-k}(h^k(x),h^k(y)) </tex> Так как <tex>h^k(x)=h^{k+1}(y)</tex>, то <tex>f_n(x,y) = f_{n-k}(h^k(x),h^k(y)) = f_{n-k}(h^{k+1}(y),h^k(y))</tex>. }}'''Например''':<tex>f_7 = f_5(f_3, f_2) = (xyx)(xy)(xyx)(xyx)(xy)(xyx)(xy)(xyx)</tex>. Это равенство работает также для <tex>f_{\infty}: f_{\infty} = f_{\infty}(f_{n+1},f_{n}) = f_{n+1}f_n f_{n+1} f_{n+1} f_n f_{n+1} f_n f_{n+1} \ldots</tex>. {{Утверждение|about=1|statement = Для любого целого <tex>n</tex> выполняется <tex>f_nf_{n+1} \neq f_{n+1}f_n</tex>.|proof = Докажем это утверждение методом математической индукции по <tex>f_n</tex>. '''База:''' :<tex>f_0f_1 \neq f_1f_0</tex> '''Переход:''' :<tex>f_nf_{n+1}=f_nf_nf_{n-1}=f_nf_{n-1}f_{n-2}f_{n-1}</tex>:<tex>f_{n+1}f_n=f_nf_{n-1}f_n=f_nf_{n-1}f_{n-1}f_{n-2}</tex>:Но то, что <tex>F_f_{n-2}f_{n-1} \neq f_{n-1}f_{n-2}</tex>)было доказано ранее в ходе индукции.

|about = 3|statement= Для любого целого <tex> \exists k : \forall n \geq k \Rightarrow F_geqslant 2</tex> выполняется равенство <tex>f^2_n = f_{n+1}^f_{n-2 }</tex> - префикс .|proof= <tex>F_f_{n+1}f_{n-2}=f_{n}f_{n-1}f_{n-2}=f_{n}f_{n}</tex>. }}{{Лемма|about = 4|statement= Для любого целого <tex>n \geqslant 3</tex> строка <tex>f_n</tex> имеет [[Основные_определения,_связанные_со_строками#border|бордеры]] <tex>f_i</tex> для <tex>i = n-2, n-4,\ldots,2-(n \bmod 2)</tex> .|proof= Будем последовательно применять лемму 1.

|proof=<tex> F_f_n=f_{n-1}f_{n+-2} = F_f_{n-2}f_{n-3}f_{n+1-2}F_</tex>. Таким образом, <tex>f_{n-2} </tex> является бордером. Далее, <tex>f_n= F_f_{n-3}f_{n-3}F_f_{n-13}F_f_{n-4} = F_f_{n-4}F_f_{n-15}F_\ldots f_{n-14}F_</tex>. Получили, что <tex>f_{n-4}</tex> также является бордером. Продолжая выполнять это преобразование, докажем лемму для всех заданных <tex>i</tex>.}}{{Утверждение|about=2}|statement= В <tex>f_n(x,y)</tex> не может содержаться подстроки <tex>x^3</tex> или <tex>y^2</tex>.|proof = Докажем для <tex>x^3</tex> методом математической индукции по <tex>f_n</tex>. '''База:''':<tex> f_0= F_{y,f_1=x</tex> не содержат <tex>x^3</tex>'''Переход:''':Пусть <tex>n}F_\geqslant 2</tex>, тогда <tex>f_n = f_{n-1}F_f_{n-2}F_</tex>.:Так как <tex>f_{n-31}F_</tex> и <tex>f_{n-2} = F_</tex> не содержат <tex>x^3</tex>, то такая кратная строка может появиться только на границе строк <tex>f_{n-1}F_</tex> и <tex>f_{n-2}F_</tex>.:А <tex>f_{n-32}F_</tex> равно либо <tex>x</tex>, либо <tex>y</tex>, либо начинается с <tex>xy</tex> (при <tex>n \geqslant 4</tex>).:Таким образом, достаточно доказать, что последние два символа <tex>f_{n-21}</tex> не равны <tex>xx</tex>.Так :Это выполняется согласно лемме 4, по которой либо <tex>xy</tex>, либо <tex>xyx</tex> является бордером (в зависимости от четности длины строки).}}==Обратный морфизм=={{Определение|definition= '''Обратный морфизм''' <tex>h^{-1}</tex> определяется как мы пользовались формулой отображение:* <tex>F_h^{n-1} (xy) = F_x</tex>,* <tex>h^{n-21}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} y, \overline{xx}\\ x, \text{otherwise}\\ \end{array}\right. </tex>Здесь <tex>\overline{xx}</tex> обозначает, что после этого вхождения <tex>x</tex> в строке опять следует <tex>x</tex>. }}F_Обратный морфизм позволяет из строки <tex>f_n</tex> получить строку <tex>f_{n-31}</tex>. '''Пример''':: <tex>f_4=xyxxy</tex>. : Будем последовательно применять морфизм:: Префикс <tex>xy</tex> переходит в <tex>x</tex>, то рассуждения верны центральный <tex>x</tex> переходит в <tex>y</tex>, а суффикс <tex>xy</tex> также переходит в <tex>x</tex>.: Получили <tex>xyx = f_3</tex>.== Связь с задачей о построении исключений=={{Утверждение|about=3|statement= Для любого целого <tex>n \geqslant 7</tex> <tex>f_n</tex> содержит куб некоторой подстроки.|proof = Строка <tex>f_7 = xyxxyxyxxyxxyxyxxyxyx</tex> содержит подстроку <tex>xyxxyxxyx = (xyx)^3 </tex> и является префиксом <tex>f_n</tex> для <tex>n \geq geqslant 7</tex>.}}{{Теорема|about=1|statement= Никакая строка <tex>f_n</tex> не содержит подстроки кратности <tex>4</tex>. Следовательно, }}{{Утверждение|about= 4|statement=Бесконечная строка Фибоначчи <tex>k f_{\geq 6infty}</tex>является решением {{Acronym | задачи построения <tex>(2,4)</tex>-исключения| Требуется построить бесконечную строковую последовательность на алфавите размером 2, свободную от кратных подстрок порядка 4, но содержащую кратные подстроки порядков 2 и 3.}}|proof = Это следует из утверждения и теоремы выше.