Изменения

|definition='''МорфизмомСтроками Фибоначчи''' называется отображение (англ. ''Fibostring'') называются строки над алфавитом <tex>h : \Sigma^* = \rightarrow {x, y\Sigma^*}</tex>, которое каждой букве полученные последовательным применением морфизма <tex>\lambdah</tex> из алфавита :* <tex>\Sigmah(x) = xy</tex> ставит в соответствие строку * <tex>h(\lambday)= x</tex> из множества к строке <tex>\Sigma^{+}s = y</tex>,затем данное отображение распространяется на т. е. последовательность <tex>\Sigmaf_n(x,y) = h^*n(y)</tex> следующим образом:.

}} ==Примеры==Первые несколько строк Фибоначчи:  * <tex>f_0 = y</tex>* <tex>f_1 = x</tex>* <tex>f_2 = xy</tex>* <tex>f_3 = xyx</tex>* <tex>h(s) f_4 = xyxxy</tex>\left\* <tex>f_5 = xyxxyxyx</tex> ==Рекуррентное соотношение для строк Фибоначчи=={{ \beginЛемма|about=1|statement= Строки Фибоначчи удовлетворяют рекуррентному соотношению <tex>f_n = f_{arrayn-1}f_{lln-2} h(s[1])h(s[, n \geqslant 2])</tex>.|proof=Докажем методом математической индукции по <tex>f_n</tex>..h(s[n]), & s \in \Sigma^+ \\ \varepsilon, & s \in \Sigma^0 \\ \end{array}'''База:'''  \right. : При <tex>n = 2</tex> выполняется <tex>f_2=xy=f_1f_0</tex>. '''Переход:'''

Любой морфизм <tex>h</tex> Также можно применять к исходной строке <tex>s</tex> любое число раззаметить, тем самым генерируя последовательность итераций что длины строк Фибоначчи совпадают с числами Фибоначчи.  ==Свойства строк Фибоначчи== {{Определение|definition=Определим '''бесконечную обобщенную строку Фибоначчи <tex>h^f_{*\infty}(sx,y)</tex> по следующему правилу: <br><ul>''' (англ. ''generalized infinite Fibostring'') как строку, содержащую все строки <tex>h^{*}f_n(s) = \{h^0(s)x, h^1(sy),...n \}geqslant 0</tex>в качестве префиксов. </ul>где <tex>h^0(s) = s</tex> и для любого целого <tex>k \geq 1 :</tex> <tex> h^k(s) = h(h^{k-1}(s))</tex>. }

*<tex>\Sigma f_n(x,y) = \h^k(f_{an-k}(x,b\y)) = f_{n-k}, (h^k(ax) = a, h^k(by)) = ab</tex>.

*Так как <tex>h^*k(ax) = \h^{ak+1}(y)</tex>, то <tex>f_n(x,y) = f_{n-k}(h^k(x),ah^k(y)) = f_{n-k}(h^{k+1}(y),h^k(y))</tex>...\ }}'''Например''':<tex>f_7 = f_5(f_3, f_2) = (xyx)(xy)(xyx)(xyx)(xy)(xyx)(xy)(xyx)</tex> .

*Это равенство работает также для <tex>h^*f_{\infty}: f_{\infty} = f_{\infty}(bf_{n+1},f_{n}) = \f_{n+1}f_n f_{n+1} f_{n+1} f_n f_{n+1} f_n f_{b, ab, a^2b,..., a^kb...n+1} \}ldots</tex>.

{{Определение|definition='''Строками ФибоначчиБаза:''' являются строки над алфавитом :<tex>f_0f_1 \Sigma = \{a, b\}</tex>, полученные последовательным применением морфизма <tex>h</tex>:* <tex>h(a) = ab</tex> * <tex>h(b) = a</tex>к строке <tex>s = b</tex>, т.е. <tex>h^*(b)neq f_1f_0</tex>.

* Далее, <tex>f_0 f_n= b</tex>* <tex>f_1 = a</tex>* <tex>f_2 = ab</tex>* <tex>f_3 = aba</tex>* <tex>f_4 f_{n-3}f_{n-3}f_{n-3}f_{n-4}= abaabf_{n-4}f_{n-5}\ldots f_{n-4} </tex>* . Получили, что <tex>f_5 = abaababaf_{n-4}</tex>также является бордером.

==Лемма==Продолжая выполнять это преобразование, докажем лемму для всех заданных <tex>i</tex>.}}{{ЛеммаУтверждение|about=2|statement= Строки Фибоначчи удовлетворяют рекуррентному соотношению В <tex>f_n = f_{n-1}f_{n-2}(x, n \geq y)</tex> не может содержаться подстроки <tex>x^3</tex> или <tex>y^2</tex>.|proof=Доказательство нетрудно получить Докажем для <tex>x^3</tex> методом математической индукциипо <tex>f_n</tex>.

'''База:''' При :<tex>f_0=y,f_1=x</tex> не содержат <tex>x^3</tex>'''Переход:''':Пусть <tex>n \geqslant 2</tex>, тогда <tex>f_n = f_{n-1}f_{n-2}</tex>.:Так как <tex>f_{n-1}</tex> и <tex>f_{n-2}</tex> не содержат <tex>x^3</tex>, то такая кратная строка может появиться только на границе строк <tex>f_{n-1}</tex> и <tex>f_{n-2}</tex>.:А <tex>f_{n-2}</tex> равно либо <tex>x</tex>, либо <tex>y</tex>, либо начинается с <tex>xy</tex> (при <tex>n \geqslant 4</tex>).:Таким образом, достаточно доказать, что последние два символа <tex>f_{n-1}</tex> не равны <tex>xx</tex>.:Это выполняется согласно лемме 4, по которой либо <tex>xy</tex>, либо <tex>xyx</tex> является бордером (в зависимости от четности длины строки).}}==Обратный морфизм=={{Определение|definition= '''Обратный морфизм''' <tex>h^{-1}</tex> определяется как отображение:* <tex>h^{-1}(xy) = x</tex>,* <tex>h^{-1}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} y, \overline{xx}\\ x, \text{otherwise}\\ \end{array}\right. </tex>Здесь <tex>\overline{xx}</tex> обозначает, что после этого вхождения <tex>x</tex> в строке опять следует <tex>x</tex> равенство очевидно.

Также можно заметить'''Пример''':: <tex>f_4=xyxxy</tex>. : Будем последовательно применять морфизм:: Префикс <tex>xy</tex> переходит в <tex>x</tex>, что длины строк Фибоначчи совпадают центральный <tex>x</tex> переходит в <tex>y</tex>, а суффикс <tex>xy</tex> также переходит в <tex>x</tex>.: Получили <tex>xyx = f_3</tex>.== Связь с числами задачей о построении исключений=={{Утверждение|about=3|statement= Для любого целого <tex>n \geqslant 7</tex> <tex>f_n</tex> содержит куб некоторой подстроки.|proof = Строка <tex>f_7 = xyxxyxyxxyxxyxyxxyxyx</tex> содержит подстроку <tex>xyxxyxxyx = (xyx)^3 </tex> и является префиксом <tex>f_n</tex> для <tex>n \geqslant 7</tex>.}}{{Теорема|about=1|statement= Никакая строка <tex>f_n</tex> не содержит подстроки кратности <tex>4</tex>.}}{{Утверждение|about= 4|statement=Бесконечная строка Фибоначчи<tex>f_{\infty}</tex> является решением {{Acronym | задачи построения <tex>(2,4)</tex>-исключения| Требуется построить бесконечную строковую последовательность на алфавите размером 2, свободную от кратных подстрок порядка 4, но содержащую кратные подстроки порядков 2 и 3.}}|proof = Это следует из утверждения и теоремы выше.}}

* [[Слово Туэ-Морса]]

== Источники информации==* Билл Смит. Методы «Методы и алгоритмы вычислений на строках. Пер. с англ. — М.:ООО"И.Д.Вильямс", строках» {{---}} издательство «Вильямс» {{---}} 2006. — 496 с.: ил. — Парал. тит. англ. ISBN 5{{-8459-1081-1 (рус}} стр.)100-107