Специальные формы КНФ

Рассмотрим две формы, с помощью которых можно представить формулы, заданные в конъюнктивной нормальной форме, то есть имеющей вид конъюнкции выражений в скобках, каждое из которых представляет собой дизъюнкцию одного или нескольких литералов. Эти две формы интересны тем, что для них существует алгоритм, который может за полиномиальное время проверить, существует ли набор аргументов, на которых данная функция будет принимать значение [math]1[/math], в то время, как для обычной функции, не представленной данной формой, эта задача является NP-полной.

КНФ в форме Крома

Определение:

Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) в форме Крома (2-КНФ) (англ. 2-CNF) — это конъюнкция выражений в скобках, каждое из которых представляет собой дизъюнкцию нескольких литералов, количество которых не превышает двух.

Пример :

[math](x_1\vee\overline x_2) \wedge (\overline x_1 \vee x_3 ) \wedge (\overline x_3 \vee x_2 ) \wedge (\overline x_1 \vee \overline x_2) \wedge... [/math]

Утверждения:

• Существует алгоритм, который за полиномиальное время проверяет, что функцию, заданную в форме Крома можно удовлетворить (т.е КНФ в форме Крома не является тождественно равной [math]0[/math]).

Данный алгоритм подробно описан в статье о выполнимости булевых формул, заданных в форме Крома: 2SAT.

• Функцию [math]F[/math] можно задать в форме Крома [math] \iff [/math] выполнено следующее следствие:

[math] F(x_1, ..., x_n)=F(y_1, ..., y_n)=F(z_1, ..., z_n)=1 \Rightarrow[/math] [math]F(\langle x_1, y_1, z_1 \rangle, \langle x_2, y_2, z_2 \rangle, ..., \langle x_n, y_n, z_n \rangle)[/math]

КНФ в форме Хорна

Определение:

Конъюнктивная нормальная форма (КНФ)в форме Хорна (англ. Horn clause) — это конъюнкция выражений в скобках, каждое из которых представляет собой дизъюнкцию литералов, в которой присутствует не более одного литерала без отрицания.

Пример:

[math] (\overline x_1 \vee \overline x_2 \vee ... \vee \overline x_n ) \wedge (x_1 \vee \overline x_2 \vee ... \vee \overline x_n)\wedge ...[/math]

Каждая скобка представляет собой Дизъюнкт Хорна.

Любую формулу можно представить в виде КНФ в форме Хорна. Для этого формулу необходимо преобразовать в конъюнкцию элементарных дизъюнкций и далее каждую дизъюнкцию представить в форме дизьюнкта Хорна.

Утверждение (В данном утверждении будет приведено доказательство, предлагающее алгоритм):

Существует алгоритм, который за полиномиальное время проверяет, что функцию, заданную в форме Хорна можно удовлетворить.

[math]\triangleright[/math]

Шаг 1. Попробуем найти в данной формуле одиночно стоящие переменные. Например, для формулы [math] x \wedge (x \vee \neg y \vee \neg z) [/math] такой переменной является [math]x[/math]. Если такие переменные существуют, то им надо присвоить значение [math] 1 [/math], если переменная входит без отрицания и [math]0[/math], если переменная входит с отрицанием, так как в конъюнкции они должны дать [math]1[/math]. Заметим, что если какая-либо скобка после этого обратилась в [math] 0 [/math], то решения не существует. Шаг 2. Идем по скобкам и рассматриваем все переменные, встречающиеся более одного раза. Если переменная входит и без отрицания и с отрицанием, то присваиваем ей значение [math]0[/math]. Если переменная входит всегда без отрицаний, то присваиваем ей значение [math]1[/math] и [math]0[/math], если всегда входит с отрицаниями. Шаг 3. Присваиваем всем оставшимся переменным [math]1[/math], если переменная входит без отрицания и [math]0[/math] иначе. Если после данного этапа какая-либо скобка равна [math]0[/math], то данная формула не разрешима. Если одиночно стоящих переменных в данном выражении нет, то всем переменным надо присвоить значение [math] 0 [/math] и булева формула разрешится. Это следует из того, что в каждом дизъюнкте есть хотя бы одна переменная с отрицанием, подставив в нее значение [math]0[/math] мы получим [math] 1[/math] в результате дизъюнкции. Сделав так для каждой скобки, мы получим выражение вида: [math]1\wedge 1 \wedge ... \wedge 1[/math], что в конечном итоге даст нам [math] 1[/math].

[math]\triangleleft[/math]

• Функцию [math]F[/math] можно задать в форме Хорна [math] \iff [/math] выполнено следующее следствие:

[math] F(x_1, ..., x_n)=F(y_1, ..., y_n)=1 \Rightarrow F(x_1 \wedge y_1, x_2 \wedge y_2, ..., x_n \wedge y_n)[/math]

См.также

• СКНФ
• 2SAT

Источники информации

• Wikipedia — Horn clause
• Wikipedia — 2-satisfiability