Изменения

'''Алгоритм Джонсона''' (англ. ''Johnson's algorithm'') находит кратчайшие пути между всеми парами вершин во взвешенном ориентированном графе с любыми весами ребер, но не имеющем отрицательных циклов.

Алгоритм Джонсона позволяет найти кратчайшие пути между всеми парами вершин в течение времени <tex> O(V^2\log(V) + VE) </tex>. Для разреженных графов этот алгоритм ведет себя асимптотически быстрее [[Алгоритм Флойда|алгоритма Флойда]]. Этот алгоритм либо возвращает матрицу кратчайших расстояний между всеми парами вершин, либо сообщение о том, что в графе существует цикл отрицательной длины.

В этом алгоритме используется метод '''изменения веса''' (англ. ''reweighting''). Суть его заключается в том, что для заданного графа <tex> G </tex> строится новая весовая функция <tex> \omega_\varphi </tex>, неотрицательная для всех ребер графа <tex> G </tex> и сохраняющая кратчайшие пути. Такая весовая функция строится с помощью так называемой '''[[Амортизационный_анализ#.D0.9C.D0.B5.D1.82.D0.BE.D0.B4_.D0.BF.D0.BE.D1.82.D0.B5.D0.BD.D1.86.D0.B8.D0.B0.D0.BB.D0.BE.D0.B2|потенциальной''' ]] функции.

{{Определение|definition=Пусть <tex> \varphi : V \rightarrow \mathbb R </tex> - — произвольное отображение из множества вершин в вещественные числа. Тогда новой весовой функцией будет <tex> \omega_\varphi(u, v) = \omega(u, v) + \varphi(u) - \varphi(v) </tex>.}}

Такая потенциальная функция строится при помощи добавлении добавлем фиктивной вершины <tex> s </tex> в <tex> G </tex>, из которой проведены ориентированные ребра нулевого веса во все остальные вершины графа, и запуском [[Алгоритм Форда-Беллмана|алгоритма Форда-Беллмана ]] из нее(<tex> \varphi(v) </tex> будет равно длине кратчайшего пути из <tex> s </tex> в <tex> v </tex>). На этом же этапе мы сможем обнаружить наличие отрицательного цикла в графе.

Теперь, когда мы знаем, что веса всех ребер неотрицательны, и кратчайшие пути сохранятся, можно запустить [[Алгоритм Дейкстры|алгоритм Дейкстры ]] из каждой вершины и таким образом найти кратчайшие расстояния между всеми парами вершин.

Пусть <tex>P,\; Q </tex> {{---}} 2 два пути <tex> a \rightsquigarrow b\;</tex> и <tex>\omega(P) < \omega(Q).</tex> Тогда <tex>\forall \varphi: \; \omega_\varphi(P) < \omega_\varphi(Q)</tex>

:Рассмотрим путь <tex>P: \;u_0 \rightarrow u_1 \rightarrow u_2 \rightarrow ... \ldots \rightarrow u_k </tex>

:Его вес с новой весовой функцией равен <tex>\omega_\varphi(P) = \omega_\varphi(u_0u_1) + \omega_\varphi(u_1u_2) + ... \ldots + \omega_\varphi(u_{k-1}u_k) </tex>.

:Вставим определение функции <tex> \omega_\varphi : \omega_\varphi(P) = \varphi(u_0) + \omega(u_0u_1) - \varphi(u_1) + ... \ldots + \varphi(u_{k-1}) + \omega(u_{k-1}u_k) - \varphi(u_k) </tex>

В графе <tex>G</tex> нет отрицательных циклов <tex>\Leftrightarrow</tex> существует потенциальная функция <tex> \phi:\; \forall uv \in E\; \omega_\varphi(uv) \ge geqslant 0 </tex>

Рассмотрим произвольный <tex>\Leftarrow </tex>: Рассмотрим произвольный <tex>C</tex> - — цикл в графе <tex>G</tex>

:По лемме, его вес равен <tex> \omega(C) = \omega_\varphi(C) - + \varphi(u_0) - \varphi(u_0) = \omega_\varphi(C) \ge geqslant 0</tex>

:Обозначим <tex>\delta(u,v)</tex> как минимальное расстояние между вершинами <tex>u,\; v</tex>., введем потенциальную функцию <tex> \phi </tex>

:Введем потенциальную функцию <tex> \phi </tex> следующим образом: <tex>\phi(u) = \delta(s,u)</tex>

:Поскольку <tex>\delta(s, u) + \omega(uv) </tex> {{---}} вес какого-то пути <tex> s \rightsquigarrow v </tex>, а <tex> \delta(s, v) </tex> {{---}} вес кратчайшего пути <tex> s \rightsquigarrow v</tex>, то <tex> \delta(s, u) + \omega(uv) \ge geqslant \delta(s, v) \Rightarrow \delta(s, u) + w\omega(uv) - \delta(s, v) = \omega_\varphi(uv) \ge geqslant 0 </tex>.

Алгоритм Джонсона Предварительно построим граф Строится граф <tex>G' = (V',\;E')</tex>, где <tex>V' = V \cup \{s\}</tex>, для некоторой новой вершины <tex>s \not\in V</tex>, а <tex>E' = E \cup \{(s,\;v): \omega(s, v) = 0,\ v \in V \}</tex> '''function''' Johnson(G): '''int[][]''' '''if''' Bellman_FordBellmanFord<tex>(G',\;\omega,\;s)</tex> == FALSE''false'' print "Входной граф содержит цикл с отрицательным весом" '''thenreturn''' out <tex>\varnothing< «Входной граф содержит цикл с отрицательным весом»/tex> '''else''' '''for''' для каждой <tex>v \in V'</tex> '''do''' присвоить величине <tex>\varphi(v)</tex> значение = <tex>\delta(s,\;v)</tex><font color = green>// <tex>\delta(s, вычисленное \;v)</tex> вычислено алгоритмом Беллмана — Форда</font> '''for''' для каждого ребра <tex>(u,\;v) \in E'</tex> '''do''' <tex>\omega_\varphi(u,\;v) \leftarrow </tex> = <tex> \omega(u,\;v) + \varphi(u) - \varphi(v)</tex> '''for''' для каждой вершины <tex>u \in V</tex> '''do''' вычисление с помощью алгоритма Дейкстры Dijkstra<tex>(G,\;\omega_\varphi,\;u)</tex> величин <tex>\delta_\varphi(u,\;v)</tex> для всех вершин <tex>v \in V</tex> '''for''' для каждой вершины <tex>v \in V</tex> '''do''' <tex>d_{uv} \leftarrow \delta_\varphi(u,\;v) + \varphi(v) - \varphi(u)</tex> '''return''' <tex>d</tex>

Алгоритм Джонсона работает за <tex>O(VE + VD)</tex>, где <tex>O(D)</tex> - — время работы [[Алгоритм Дейкстры| алгоритма Дейкстры]]. Если в алгоритме Дейкстры неубывающая очередь с приоритетами реализована в виде [[Фибоначчиевы кучи| фибоначчиевой кучи]], то время работы алгоритма Джонсона есть <tex>O(V^2\log V + V E)</tex>. В случае реализации очереди с приоритетами в виде двоичной кучи время работы равно <tex>O(V E \log V)</tex>.

== Литература Источники информации ==