Изменения
исправил косяки, см. обсуждение
|proof=
Рассмотрим <tex> x \notin F </tex>. Пусть <tex> G = \overline F </tex>. Если <tex> G </tex> - открытое, то <tex> F </tex> - замкнутое множество (по определению).
: Тогда каждый <tex> y \in notin F </tex> входит в <tex> G </tex> вместе с каким-то открытым шаром (по определению - <tex> G = \bigcup\limits_i V_i </tex> - открытое множество). При этом, <tex> F \cap G = \varnothing \Rightarrow \forall i: V_i \cap F = \varnothing </tex>.: Предположим, что это не так, и для любого какого-то <tex> x \notin F </tex> не найдется такого открытого шара <tex> V(x): x \in V(x)_r , \, V(x)_r \cap F = \varnothing </tex>: Запишем это формально: <tex> \forall r: \exists x': x' \in (F \cap V(x)_r) \neq \varnothing</tex>.
: Определим следующие последовательности:
: <tex> r_n = \frac 1n </tex>, <tex> \{ x_n \} : x_n \in (F \cap V(x)_{r_n}) </tex>.
