Лемма о разрастании для КС-грамматик

Лемма о разрастании для КС-грамматик

Лемма (о разрастании КС-грамматик):

Пусть [math]L[/math] — контекстно-свободный язык над алфавитом [math]\Sigma[/math], тогда существует такое [math]n[/math], что для любого слова [math] \omega \in L[/math] длины не меньше [math]n[/math] найдутся слова [math] u,v,x,y,z \in \Sigma^*[/math], для которых верно: [math]uvxyz=\omega, vy\neq \varepsilon, |vxy|\leqslant n[/math] и [math]\forall k \geqslant 0~uv^{k}xy^{k}z\in L[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Грамматика любого контекстно-свободного языка может быть записана в нормальной форме Хомского (НФХ). Пусть [math]m[/math] — количество нетерминалов в грамматике языка [math]L[/math], записанной в НФХ. Выберем [math]n=2^{m+1}[/math]. Построим дерево разбора произвольного слова [math]\omega[/math] длиной больше, чем [math]n[/math]. Высотой дерева разбора назовем максимальное число нетерминальных символов на пути от корня дерева к листу. Так как грамматика языка [math]L[/math] записана в НФХ, то у любого нетерминала в дереве могут быть, либо два потомка нетерминала, либо один потомок терминал. Поэтому высота дерева разбора слова [math]\omega[/math] не меньше [math]m+1[/math]. Выберем путь от корня дерева к листу максимальной длины. Количество нетерминалов в нем не меньше, чем [math]m+1[/math], следовательно, найдется такой нетерминал [math]B[/math], который встречается на этом пути дважды. Значит, в дереве разбора найдется нетерминал [math]B[/math], в поддереве которого содержится нетерминал [math]B[/math]. Выберем такой нетерминал [math]A[/math], чтобы в его поддереве содержался такой же нетерминал и длина пути от него до корня была максимальна среди всех нетерминалов, содержащих в поддереве такой же нетерминал. Найдем слова [math] u,v,x,y,z [/math]. Рассмотрим нетерминал [math]A[/math], содержащийся в поддереве выбранного нетерминала. Тогда [math]x[/math] — строка терминалов, которая выведена из рассмотренного нетерминала в данном дереве разбора. Тогда [math]A \Rightarrow^{*} x[/math]. Рассмотрим выбранный ранее нетерминал [math]A[/math]. Пусть [math]t[/math] — строка терминальных символов, которая выведена из рассмотренного нетерминала в данном дереве разбора. Тогда, так как выбранный нетерминал [math]A[/math] содержит в своем поддереве такой же нетерминал, то [math]A \Rightarrow^{*}\alpha A \beta \Rightarrow^{*} t[/math], где [math]\alpha,\beta[/math] - строки, которые могут содержать как терминалы, так и нетерминалы. При этом как минимум одна из строк [math]\alpha,\beta[/math] не пуста, так как грамматика языка записана в НФХ. Пусть [math]v[/math] и [math]y[/math] - строки, состоящие из терминалов, которые выведены соответственно из [math]\alpha[/math] и [math]\beta[/math], в данном дереве разбора. Тогда [math]t = vxy[/math]. Так как хотя бы одна из строк [math]\alpha,\beta[/math] не пуста, то [math]vy\neq \varepsilon[/math]. Получаем [math]A \Rightarrow^{*} vAy \Rightarrow^{*} vxy[/math]. Рассмотрим стартовый нетерминал [math]S[/math]. Из [math]S[/math] выведена строка [math]\omega[/math]. При этом [math]S \Rightarrow^{*} \alpha A \beta \Rightarrow^{*} \omega [/math], где [math]A[/math] — выбранный ранее нетерминал. Из [math]A[/math] в данном дереве разбора выведена строка [math]vxy[/math]. Пусть [math]u[/math] и [math]z[/math] — строки, состоящие из терминалов, которые выведены соответственно из [math]\alpha[/math] и [math]\beta[/math] в данном дереве разбора. Тогда [math]S \Rightarrow^{*} uAz \Rightarrow^{*} uvAyz \Rightarrow^{*} \omega[/math]. Покажем, что [math]|vxy| \leqslant n[/math]. Допустим, что [math]|vxy|\gt n[/math]. Тогда высота поддерева с корнем в вершине, соответствующей выбранному [math]A[/math], не меньше [math]m+2[/math]. Рассмотрим поддерево вершины, в котором содержится нетерминал [math]A[/math]. Тогда высота этого поддерева не меньше [math]m+1[/math]. Рассмотрим путь максимальной длины от корня этого поддерева к листу. В нем содержится не менее [math]m+1[/math] нетерминалов, причем не содержится стартовый нетерминал. Следовательно, на этом пути найдутся два одинаковых нетерминала, что противоречит условию наибольшей удаленности от корня выбранного ранее нетерминала [math]A[/math]. Получили противоречие. Поэтому [math]|vxy|\leqslant n[/math]. Таким образом, в рамках нашей грамматики мы можем построить цепочку вывода: [math]S \Rightarrow^{*} uAz \Rightarrow^{*} uvAyz \Rightarrow^{*} uvvAyyz \Rightarrow^{*} uv^{k}Ay^{k}z \Rightarrow^{*} uv^{k}xy^{k}z[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Замечание. Условие леммы не является достаточным для контекстно-свободности языка. Но, в силу необходимости условия, данная лемма часто используется для доказательства неконтекстно-свободности языков.

Пример доказательства неконтекстно-свободности языка с использованием леммы

Рассмотрим язык [math]0^{n}1^{n}2^{n}[/math]. Покажем, что он не является контекстно-свободным.

Для фиксированного [math]n[/math] рассмотрим слово [math]\omega=0^n 1^n 2^n[/math]. Пусть [math]\omega[/math] разбили на [math]u, v, x, y, z[/math] произвольным образом. Так как [math]|vxy|\leqslant n[/math], то в слове [math]vxy[/math] не содержится либо ни одного символа [math]0[/math], либо ни одного символа [math]2[/math]. Для любого такого разбиения выбираем [math]k=2[/math] и получаем, что количество символов [math]1[/math] изменилось, а количество либо [math]0[/math], либо [math]2[/math] осталось тем же. Очевидно, что такое слово не принадлежит рассмотренному языку. Значит, язык [math]0^{n}1^{n}2^{n}[/math] не является контекстно-свободным по лемме о разрастании для КС-грамматик.

Пример не КС-языка, для которого выполняется лемма

Рассмотрю язык [math]a^{n}b^{n}c^{i}[/math], где [math]i \neq n[/math]

Докажем, что он неконтестно-свободный. Для этого воспользуемся Леммой Огдена. Для фиксированного [math]n[/math] рассмотрим слово [math]\omega=a^n b^n c^{n!+n}[/math]. Пометим все символы [math]a[/math] и [math]b[/math]. Пусть [math]\omega[/math] разбили на [math]u, v, x, y, z[/math], так что [math]x[/math] содержит выделенную позицию; [math]u[/math] и [math]v[/math] содержат выделенные позиции и [math]vxy[/math] содержат не более [math]n[/math] выделенных позиций. Тогда очевидно, что [math]vy[/math] должно содержать одинаковое число символов [math]a[/math] и [math]b[/math], иначе выбираем [math]k=0[/math] и тогда количество символов [math]a[/math] и [math]b[/math] станет разным. Пусть символов [math]a[/math] в [math]vy[/math] будет [math]t[/math]. Так же очевидно, что [math]vy[/math] не содержит символов [math]c[/math], так как [math]vxy[/math] содержат не более [math]n[/math] выделенных позиций, но [math]v[/math] точно содержит символ [math]a[/math]. Тогда выберем [math]k=\frac{n!}{t}+1[/math] и получим слово [math]a^{n!+n}b^{n!+n}c^{n!+n}[/math], которое не принадлежит рассмотренному языку. Значит [math]a^{n}b^{n}c^{i}[/math] не является контекстно-свободным.

Докажем, что язык удовлетворяет лемме о разрастании. Выберем [math]n=5[/math]. Это значит, что длина рассматриваемых слов не меньше [math]3[/math]. Рассмотрю случаи:

1. [math]c^i[/math]. Выберем [math]u=c^{i-1}[/math], [math]v=c[/math], [math]x=y=z=\varepsilon[/math]
2. [math]a^jb^j[/math]. Выберем [math]u=a^{j-1}[/math], [math]v=a[/math], [math]x=\varepsilon[/math], [math]y=b[/math], [math]z=b^{j-1}[/math]
3. [math]a^jb^jc^i[/math], где [math]i \lt j-1[/math]. Выберем [math]u=a^{j-1}[/math], [math]v=a[/math], [math]x=\varepsilon[/math], [math]y=b[/math], [math]z=b^{j-1}c^i[/math]
4. [math]a^jb^jc^{j-1}[/math]. Выберем [math]u=a^{j-2}[/math], [math]v=aa[/math], [math]x=\varepsilon[/math], [math]y=bb[/math], [math]z=b^{j-2}c^i[/math]
5. [math]a^jb^jc^{j+1}[/math]. Выберем [math]u=a^{j-2}[/math], [math]v=aa[/math], [math]x=\varepsilon[/math], [math]y=bb[/math], [math]z=b^{j-2}c^i[/math]
6. [math]a^jb^jc^i[/math], где [math]i\gt j+1[/math]. Выберем [math]u=a^jb^jc^{i-1}[/math], [math]v=c[/math], [math]x=y=z=\varepsilon[/math]

См. также

Лемма Огдена

Источники

• Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д. — Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с англ. — Москва, Издательский дом «Вильямс», 2002. — 528 с. : ISBN 5-8459-0261-4 (рус.)