Изменения
Орфография для iolp
{{Утверждение
|id=limits
|statement=
Пусть <tex>x_n</tex>, <tex>y_n</tex> — последовательности точек нормированного пространства <tex>(X, \|\cdot\|)</tex>, а <tex>\alpha_n</tex> — вещественная последовательность. Известно, что <tex>x_n \rightarrow x</tex>, <tex>y_n \rightarrow y</tex>, <tex>\alpha_n \rightarrow \alpha</tex>.
|proof=
<tex>\|(x_n + y_n) - (x + y)\| = \|(x_n - x) + (y_n - y)\| \le \|x_n - x\| + \|y_n - y\| \rightarrow 0</tex> по арифметике числовых пределов. Но, поскольку <tex>\|(x_n + y_n) - (x + y)\| \ge 0</tex> по определению нормы, то по принципу сжатой переменной <tex>x_n + y_n \rightarrow x + y</tex>.
}}
# <tex>(\alpha x + \beta y, z) = \alpha(x, z) + \beta(y, z)</tex>
=== Неравенство Шварца ===
Основное значение для скалярного произведения имеет неравенство Шварца:
{{Утверждение
Рассмотрим следующую функцию: <tex>f(\lambda) = (\lambda x + y, \lambda x + y)</tex>. По аксиомам скалярного произведения <tex>f(\lambda) \ge 0</tex>.
Но <tex>f(\lambda) = (x, x)\lambda^2 + 2(x, y)\lambda + (y, y)</tex>. Из неотрицательности квадратного трёхчлена вытекает, что его дискриминант не должен быть положительным. Но дискриминант <tex>D</tex> равен <tex>4(x, y)^2 - 4(x, x)(y, y)</tex>, и из неравенства <tex>D \le 0</tex> мнгновенно мгновенно вытекает доказываемое.
}}
Но по доказанному ранее утверждению из покоординатной сходимости следует сходимость по норме, что и требовалось доказать.
}}
{{Теорема
|about=
критерий компактности в <tex> R^n </tex>
|statement=
Множество <tex> X </tex> в <tex> R^n </tex> компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.
|proof=
<tex>\Longrightarrow</tex>
Верно по свойствам компакта в произвольном метрическом пространстве.
<tex>\Longleftarrow</tex>
В силу ограниченности поместим наше множество в <tex>n</tex>-мерный параллелепипед. Докажем, что он {{---}} компакт.
Возьмём последовательность <tex>a_n</tex>, принадлежащую этому параллелепипеду. Выделим сходящуюся последовательность по
первой координате. Из неё выделим сходящуюся последовательность по второй координате, итд. По каждой координате эта последеовательность
сходится, значит, по свойствам <tex>\mathbb{R}^n</tex> эта последовательность сходится. Значит, параллелепипед {{---}} компакт.
Рассмотрим последовательность в нашей фигуре. Из неё можно выделить выделить сходящуюся подпоследовательность так как она принадлежит
компакту. По замкнутости её предел лежит внутри фигуры. Значит, фигура {{---}} компакт.
}}
== Пространство последовательностей ==
Для начала установим, что <tex>(x, y) = \sum\limits_{j = 1}^\infty x_j y_j</tex> имеет конечные значения (когда <tex>x</tex>, <tex>y</tex> — элементы <tex>\ell^2</tex>). По свойствам рядов достаточно доказывать сходимость ряда из модулей.
По неравенству Шварца для <tex>\mathbb R^n</tex> (где <tex>n</tex> — произвольно): <tex>\left| \sum\limits_{j = 1}^n |x_j| \cdot |y_j\right| \le \sqrt{\sum\limits_{j = 1}^n x_j^2} \cdot \sqrt{\sum\limits_{j = 1}^n y_j^2}</tex>.
<tex>\sqrt{\sum\limits_{j = 1}^n x_j^2} \le \sqrt{\sum\limits_{j = 1}^\infty x_j^2}</tex>, следовательно, частичные суммы рассматриваемого ряда ограничены некоторой константой. Но, так как ряд положительный, то он сходится.
Один шар можно получить сдвигом и параллельным переносом из другого, значит, любой шар в <tex> \ell^2 </tex> - некомпактен.
В <tex> \mathbb{R}^n </tex> - любой шар компактен, так как его можно погрузить в компактный параллелепипед(по т. Хаусдорфа).
Из шара можно высверлить бесконечно много дырок одинакового радиуса( <tex>R = \frac{\sqrt2}{10} </tex>) , и он не развалится.
<strike>''КАРТИНОЧКА''</strike> никому не нужна, вы ведь не хотите загреметь в сумашедший сумасшедший дом из-за попытки представить высверливание дырок в бесконечномерном шаре? Вот и славненько.
{{Определение
В частности, так как <tex> l_1, \dots, l_n, \dots </tex> - ОНС в <tex> H </tex>(гильбертово), то <tex> \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \alpha_k l_k </tex> {{---}} ортогональный ряд.
===Теорема Пифагора===
{{Теорема
|author=Пифагор
|statement=
<tex>\sum\limits_{k = 1}^{\infty} x_k </tex> - сходящийся ортогональный ряд <tex> \Leftrightarrow \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \| x_k \|^2 < + \infty </tex>.
Применим теорему к ортогональному ряду из ОНС:
<tex> \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \alpha_k l_k, \ \| \alpha_k l_k \|^2 = \alpha_k ^2 </tex>
<tex> \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \alpha_k^2 < + \infty </tex>
Значит, если написанный ортогональный ряд сходится, то он будет рядом Фурье своей суммы. Убедимся, что любой ряд Фурье сходится, однако не всегда к той же точке <tex> x </tex>, для которой он построен. Этот факт базируется на следующем неравенстве:
===Теорема Бесселя===
{{Теорема
|author=
