Формула полной вероятности

Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез.

Формулировка

Пусть дано вероятностное пространство [math](\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})[/math], и полная группа попарно несовместных событий [math]\{B_i\}_{i=1}^{n} \subset \mathcal{F}[/math] таких что [math]\forall i \mathbb{P}(B_i) \gt 0;[/math] [math]\forall{j \ne i}[/math] [math]B_i \cap B_j = \varnothing;[/math] [math]\cup_{i=1}^n B_i=\Omega[/math]. Пусть [math]A \in \mathcal{F}[/math] суть интересующее нас событие. Тогда

[math]\mathbb{P}(A) = \sum\limits_{i=1}^{n} \mathbb{P}( A \mid B_i) \mathbb{P}(B_i)[/math].

Замечание

Формула полной вероятности также имеет следующую интерпретацию. Пусть [math]N[/math] — случайная величина, имеющая распределение

[math]\mathbb{P}(N=n) = \mathbb{P}(B_n)[/math].

Тогда

[math]\mathbb{P}(A) = \mathbb{E}\left[\mathbb{P}(A\mid N)\right][/math],

т.е. априорная вероятность события равна среднему его апостериорной вероятности.

См. также

• Условная вероятность
• Математическое ожидание случайной величины
• Формула Байеса