Отображения

Эта статья находится в разработке!

TODO: чтобы было не В разработке

Лекция от 13 сентября 2010 года.

Определение

Определение:

Закон f, посредством которого каждому $a \in A$ , сопоставляется единственный $b \in B$, называют отображением.

Формы записи:

$f: A \rightarrow B \\ b = f(a)$

Определение:

Если A и B состоят из чисел, f называется функцией.

Отображение - три объекта: множество A(откуда), множество B(куда), функция f(как).

Связанные понятия

Пусть:

$f : A \rightarrow B$

$C \subset A$

$g : C \rightarrow B$

$\forall c \in C : g(c) = f(c)$

Тогда, g — сужение f на C, $g = f \big|_C$

$A = D(f)$ — область определения f

$R(f) = \{ b | b = f(a), a \in A \}$ — область значений f

$C \subset A ; f(C) = \{f(a)| a \in A \}$ — образ множества C при отображении f

$D \subset B ; f^{-1}(D) = \{ a| a \in A, f(a) \in D \}$ — прообраз множества D при отображении f

Определение:

Отображение $f^{-1}: B \rightarrow A$ называется обратным отображением для f.

$f(f^{-1}(a)) = a; \\ f^{-1}(f(b)) = b;$

Термины "прямое" и "обратное" отображения взаимны.

Свойства отображений

Инъективное отображение - переводит разные элементы A в разные элементы B:

$\forall a_1, a_2 \in A : f(a_1) \ne f(a_2)$

Сюръективное отображение(на множестве B) - каждый элемент множества B является образом хотя бы одного элемента множества A:

$\forall b \in B: \exists a : b = f(a)$

Биективное отображение - инъекция + сюръекция - взаимно однозначное соответствие, обладает двумя предыдущими свойствами.

См. также

• Множества