Действие перестановки на набор из элементов, представление в виде циклов — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 1: Строка 1:
−
'''Перестановка''' — это отображение <math>\pi:X\rightarrow X</math>, которое каждому <math>x_i \in X</math> ставит во взаимно-однозначное соответствие <math>x_j \in X</math>
+
Перестановка — это отображение <math>\pi:X\rightarrow X</math>, которое каждому <math>x_i \in X</math> ставит во взаимно-однозначное соответствие <math>x_j \in X</math>. Индексы <math>i,j \in \mathcal{f}1, 2, \ldots, n\mathcal{g}</math>, где <math>n = \mathcal{j}X\mathcal{j}</math>.
−
 
 
−
Индексы <math>i,j \in \mathcal{f}1, 2, \ldots, n\mathcal{g}</math>, где <math>n = \mathcal{j}X\mathcal{j}</math>.
 
 
Число <math>~n</math> называют порядком перестановки. Перестановку можно записать в виде упорядоченного набора из чисел <math>1, 2,\ldots, n</math>.
 
Число <math>~n</math> называют порядком перестановки. Перестановку можно записать в виде упорядоченного набора из чисел <math>1, 2,\ldots, n</math>.
−
Элемент такого набора <math>~<a_1,a_2,\ldots,a_n>~ a_k</math> означает, что <math>~\pi (x_{a_k}) = x_k </math>. Таким образом, если <math> \Theta <x_1,x_{2},\ldots,x_{n}></math> — упорядоченный набор элементов из множества<math>~X</math>, то <math>\pi (<x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}>) = <x_{q_1},x_{q_2},\ldots,x_{q_n}> </math>, где <math>q_{a_i} = i</math>. Например, применив перестановку <math>~<3,2,4,1>)</math> к набору элементов <math>~(x_1,x_2,x_3,x_4)</math>, получим набор <math>~<x_4,x_2,x_1,x_3></math>. <br\>
+
Элемент набора <math>~a_k</math> означает, что <math>~\pi (x_{a_k}) = x_k </math>. Таким образом, если <math> <x_1,x_{2},\ldots,x_{n}></math> — упорядоченный набор элементов из множества<math>~X</math>, то <math>\pi (<x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}>) = <x_{q_1},x_{q_2},\ldots,x_{q_n}> </math>, где <math>q_{a_i} = i</math>. Например, применив перестановку <math>~<3,2,4,1>)</math> к набору элементов <math>~(x_1,x_2,x_3,x_4)</math>, получим набор <math>~<x_4,x_2,x_1,x_3></math>.
−
==Произведение перестановок==
 
−
Произведением перестановок <math>~\pi</math> и <math>~\sigma</math> называется композиция (т.е. последовательное применение) этих перестановок: <math>(\pi*\sigma)(\Theta) = \pi(\sigma(\Theta)) = \pi \circ \sigma (\Theta)</math>.
 
−
Легко показать, что произведение перестановок тоже является перестановкой, причем если <math>~\phi = \pi*\sigma</math>, то <math>\phi(x_i) = \pi \circ \sigma (x_i)</math>.
 
−
==Циклы==
 
−
Циклом длины <math>~l</math> называется такая подстановка <math>~\pi,</math> которая тождественна на всём множестве <math>X,</math> кроме подмножества <math>\{x_1,x_2,\dots,x_l\}\subset X</math> и <math>~\pi(x_l)=x_1,</math> <math>~\pi(x_i)=x_{i+1}.</math> Обозначается <math>(x_1,x_2,\dots,x_l).</math> Перестановку также можно записать в виде произведения непересекающихся циклов, причём единственным образом с точностью до порядка следования циклов в произведении. Например:
 
−
: <math>~(1, 5, 2)(3, 6)(4)=<5,1,6,4,2,3> </math>.
 
−
[[Файл:Циклы_мал.png]]
 

Версия 00:43, 10 декабря 2010

Перестановка — это отображение [math]\pi:X\rightarrow X[/math], которое каждому [math]x_i \in X[/math] ставит во взаимно-однозначное соответствие [math]x_j \in X[/math]. Индексы [math]i,j \in \mathcal{f}1, 2, \ldots, n\mathcal{g}[/math], где [math]n = \mathcal{j}X\mathcal{j}[/math]. Число [math]~n[/math] называют порядком перестановки. Перестановку можно записать в виде упорядоченного набора из чисел [math]1, 2,\ldots, n[/math]. Элемент набора [math]~a_k[/math] означает, что [math]~\pi (x_{a_k}) = x_k [/math]. Таким образом, если [math] \lt x_1,x_{2},\ldots,x_{n}\gt [/math] — упорядоченный набор элементов из множества[math]~X[/math], то [math]\pi (\lt x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\gt ) = \lt x_{q_1},x_{q_2},\ldots,x_{q_n}\gt [/math], где [math]q_{a_i} = i[/math]. Например, применив перестановку [math]~\lt 3,2,4,1\gt )[/math] к набору элементов [math]~(x_1,x_2,x_3,x_4)[/math], получим набор [math]~\lt x_4,x_2,x_1,x_3\gt [/math].

Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Действие_перестановки_на_набор_из_элементов,_представление_в_виде_циклов&oldid=5675»